En matemáticas, una n-esfera (o hiperesfera) es la generalización de la «esfera» a un espacio euclídeo de dimensión arbitraria. En otras palabras, la n-esfera es una hipersuperficie del espacio euclídeo , denotada en general como . Constituye uno de los ejemplos más sencillos de variedad matemática.
Desde un punto de vista analítico, una -esfera es un espacio topológico que es homeomorfo a una -esfera estándar, que es el conjunto de puntos en un espacio euclídeo -dimensional que se encuentran a una distancia constante respecto a un punto fijo, llamado centro. Cuando la esfera tiene un radio unidad, es habitual llamarla -esfera unidad, o simplemente -esfera por brevedad. En términos de la norma estándar, una -esfera se define como
y una -esfera de radio se puede definir como
La 0-esfera es un par de puntos sobre una recta a una unidad de distancia del origen, la 1-esfera es una circunferencia en el plano y la 2-esfera es una esfera ordinaria dentro del espacio tridimensional.
La dimensión de una -esfera es , y no debe confundirse con la dimensión del espacio euclídeo en el que queda naturalmente embebida. Una -esfera es la superficie o límite de una bola dimensional.
En particular: El par de puntos en los extremos de un segmento (unidimensional) es una 0-esfera Una circunferencia, que es el contorno unidimensional de un círculo (bidimensional), es una La superficie bidimensional de una bola (tridimensional) en un espacio tridimensional es una , a menudo simplemente llamada esfera La frontera tridimensional de una 4-bola (cuatro dimensiones) en el espacio euclídeo tetradimensional, es un 3-esfera, también conocida como glomo El límite -dimensional de una -bola (-dimensional) es una .
Para , las -esferas que son variedades diferenciables pueden caracterizarse (hasta un difeomorfismo) como variedades -dimensionales conexas de curvatura constante y positiva. Las -esferas admiten varias otras descripciones topológicas: por ejemplo, se pueden construir pegando dos espacios euclídeos -dimensionales, identificando el límite de un -cubo con un punto, o (inductivamente) formando la suspensión de una -esfera. La 1-esfera es la 1-variedad que es una circunferencia, que no es simplemente conexa. La 0-esfera es la 0-variedad que consta de dos puntos, que ni siquiera es conexa.
Definición
Dado un espacio euclídeo E de dimensión n+1, A un punto de E, y R un número real estrictamente positivo, se le llama hiperesfera de centro A y radio R al conjunto de puntos M tales que su distancia a A vale exactamente R.
La n+1-tupla de puntos (x1,x2,…,xn+1) que están en una n-esfera (Sn) se representa con la ecuación:
donde el centro es el origen de coordenadas O (0,0,...,0).Consistencia con la definición de hiperesfera y la fórmula de distancia en En+1 Teniendo como datos un punto fijo llamado centro y el radio R, real positivo, siendo un punto cualquiera de la hiperesfera, la ecuación correspondiente es,Desarrollo analítico de la definiciónLang, Serge: Introducción al Análisis Matemático, ISBN 0-201-62907-0, pg. 100
o escrito en forma vectorial, como:
Descripción
Para cualquier número natural , una -esfera de radio se define como el conjunto de puntos en el espacio euclídeo -dimensional que están a una distancia de un punto fijo , donde puede ser cualquier número real positivo y donde puede ser cualquier punto en el espacio dimensional. En particular: Una 0-esfera es un par de puntos , y es el límite de un segmento recto (1-bola) Una 1-esfera es una circunferencia de radio centrada en , y es el límite de un disco (2-bola) Una 2-esfera es un esfera bidimensional ordinaria en un espacio euclídeo tridimensional, y es el límite de una bola ordinaria Una 3-esfera es una esfera tridimensional en un espacio euclídeo de 4 dimensiones
Coordenadas euclídeas en el -espacio
El conjunto de puntos en el espacio , , que definen una -esfera, , está representado por la ecuación:
donde = es un punto central y es el radio.
La -esfera anterior existe en el espacio euclídeo -dimensional y es un ejemplo de -variedad. La forma de volumen de una -esfera de radio viene dada por
donde es el dual de Hodge; véase para una discusión y prueba de esta fórmula en el caso . Como resultado,
-bola
El espacio encerrado por una -esfera se llama -bola. Una -bola es cerrada si incluye la -esfera, y es abierta si no incluye la -esfera.
Específicamente: Una 1-bola, un segmento, es el interior de una 0-esfera Una 2-bola, un círculo, es el interior de una circunferencia (1-esfera) Una 3-bola, una bola ordinaria, es el interior de una esfera (2-esfera) Una 4-bola es el interior de una 3-esfera, y así sucesivamente
Descripción topológica
Topológicamente, una -esfera se puede construir como una compactación en un punto del espacio euclídeo -dimensional. Brevemente, la -esfera puede describirse como , que es un espacio euclídeo -dimensional más un único punto que representa el infinito en todas las direcciones. En particular, si se elimina un único punto de una -esfera, se convierte en homeomórfica a . Esta circunstancia sustenta la base de la proyección estereográfica.James W. Vick (1994). Homology theory, p. 60. Springer
Volumen y área de la superficie
y son el volumen -dimensional de una -bola y el área de la superficie de la -esfera incrustada en la dimensión , respectivamente, ambas de radio .
Las constantes y (para , la bola unitaria y la esfera) están relacionadas por las recurrencias:
Las superficies y los volúmenes también se pueden dar en forma cerrada:
donde es la función gamma. Las deducciones de estas ecuaciones se dan en esta sección.
<div style="overflow-wrap: normal"> En general, el volumen de la -bola en el espacio euclídeo y el área de la superficie de la -esfera en el espacio euclídeo -dimensional, de radio , son proporcionales a la potencia del radio (con diferentes constantes de proporcionalidad que varían con ). Se escribe para el volumen de la -bola y para el área de la superficie de la -esfera, ambas de radio , donde y son los valores para el caso del radio unidad.<div>
En teoría, se podrían comparar los valores de y para . Sin embargo, esto es algo sin sentido. Por ejemplo, si y , es como comparar un número de metros cuadrados con un número diferente de metros cúbicos. La misma falta de sentido se aplica a una comparación de y para .
Fórmula del volumen
El volumen del espacio delimitado por una hiperesfera de dimensión n-1 y de radio R, que es una bola euclídea de dimensión n viene determinado por:
donde es la función gamma.
Nótese la particularidad de que se incrementa desde n=1 hasta un máximo y luego comienza a disminuir y tiende a cero cuando n tiende a infinito. En el caso de que R=1 el volumen máximo se obtiene cuando n=5.
Por ejemplo, el volumen de una hiperfesfera de radio R en el espacio cuadridimensional aplicando la fórmula para n=4 resulta
Ejemplos La 0-bola consiste en un solo punto. La medida de Hausdorff en 0 dimensiones es el número de puntos en un conjunto. Entonces,
La 1-bola unidad es el intervalo de longitud 2. Entonces,
La 0-esfera consiste en sus dos puntos finales, . Entonces,
La 1-esfera unidad es la circunferencia unidad en el plano euclídeo, cuyo perímetro (medida unidimensional) mide
La región encerrada por la 1-esfera unidad es la 2-bola o disco unidad, que tiene un área (medida bidimensional) de
Análogamente, en el espacio euclídeo tridimensional, el área de la superficie (medida bidimensional) de la 2-esfera unidad está dada por
y el volumen incluido es la capacidad (medida tridimensional) de la 3-bola unidad, dada por
Recurrencias El área de la superficie, o más adecuadamente, el volumen -dimensional, de la -esfera en el límite de la -bola de radio está relacionado con el volumen de la bola por la ecuación diferencial
o, de manera equivalente, representando la -bola unidad como la unión de -esferas concéntricas anidadas en forma de corona esférica,
Entonces,
También se puede representar la -esfera unidad como la unión de toros, cada uno el producto de un círculo (1-esfera) con una -esfera. Siendo y , de modo que y , entonces:
Desde , la ecuación
se cumple para todos los .
Esto completa la deducción de las recurrencias:
Formas cerradas Combinando las recurrencias, se puede ver que
Entonces, es simple mostrar por inducción que para k,
donde denota el doble factorial, definido para números naturales impares por y de manera similar para números pares .
En general, el volumen en el espacio euclídeo -dimensional de la -bola unidad viene dado por
donde es la función gamma, que satisface , y .
Multiplicando por , diferenciando con respecto a , y luego configurando , se obtiene la forma cerrada
Otras relaciones
Las recurrencias se pueden combinar para dar una relación de recurrencia de "dirección inversa" para el área de la superficie, como se muestra en el diagrama:
El cambio del índice a produce las relaciones de recurrencia siguientes:
donde , , y .
La relación de recurrencia para también se puede probar a través de la integración con coordenadas polares bidimensionales:
Coordenadas esféricas
Se puede definir un sistema de coordenadas en un espacio euclídeo -dimensional que es análogo al sistema de coordenadas esféricas definido para el espacio euclídeo tridimensional, en el que las coordenadas consisten en una coordenada radial , y las coordenadas angulares , donde los ángulos se extienden sobre radianes (o entre grados) y varía sobre radianes (o entre grados). Si son las coordenadas cartesianas, entonces se puede calcular a partir de con:
Excepto en los casos especiales descritos a continuación, la transformación inversa es única:
donde si para algunos pero todos son cero, entonces cuando y (180 grados) cuando .
Hay algunos casos especiales donde la transformación inversa no es única; para cualquier será ambiguo siempre que todos los sean cero; en este caso, puede elegirse como cero.
Volumen esférico y elementos de área Expresando las medidas angulares en radianes, el elemento volumen en el espacio euclídeo -dimensional se encontrará a partir del Jacobiano de la transformación:
y la ecuación anterior para el volumen de la -bola se puede recuperar integrando:
De manera similar, el elemento del área de superficie de la -esfera, que generaliza el elemento de área de la 2-esfera, viene dado por
La elección natural de una base ortogonal sobre las coordenadas angulares es un producto de polinomios ultraesféricos,
para , y para el ángulo en concordancia con los armónicos esféricos.
Proyección estereográfica
Al igual que una esfera bidimensional incrustada en tres dimensiones se puede representar en un plano bidimensional mediante una proyección estereográfica, una -esfera se puede representar en un hiperplano -dimensional mediante la versión -dimensional de la proyección estereográfica. Por ejemplo, el punto en una esfera bidimensional de radio 1 se asigna al punto en el plano . En otras palabras,
Del mismo modo, la proyección estereográfica de una -esfera de radio 1 se correlacionará con el hiperplano dimensional perpendicular al eje como
Generación de puntos aleatorios
Uniformemente al azar en una -esfera
Para generar puntos aleatorios distribuidos uniformemente en la -esfera unidad (es decir, la superficie de la -bola unidad), proporciona el siguiente algoritmo:
Genérese un vector -dimensional de distribución normal (es suficiente usar , aunque en realidad la elección de la varianza es arbitraria), . Ahora, calcúlese el radio de este punto:
El vector se distribuye uniformemente sobre la superficie de la -bola unidad.