En teoría de números , el teorema de Zsigmondy, llamado así por Karl Zsigmondy, establece que si a > b > 0 son enteros coprimos, entonces para cualquier entero n ≥ 1, hay un número primo p (llamado divisor primo primitivo) que divide an - bn y no divide ak-bk por ningún entero positivo k<n, con las siguientes excepciones:
, ; entonces = 1 que no tiene divisores primos , una potencia de dos; entonces cualquier factor primo impar de = debe estar contenido en , que también es par , , ; entonces = 63 = 32×7 =
Esto generaliza el teorema de Bang, que establece que si n > 1 y n no es igual a 6, entonces tiene un divisor primo que no divide ningún con .
De manera similar, tiene al menos un divisor primo primitivo con la excepción de .
El teorema de Zsigmondy es a menudo útil, especialmente en la teoría de grupos, donde se usa para demostrar que varios grupos tienen órdenes distintos, excepto cuando se sabe que son iguales.
Historia El teorema fue descubierto por Zsigmondy trabajando en Viena desde 1894 hasta 1925.
Generalizaciones Sea una secuencia de enteros distintos de cero. El conjunto de Zsigmondy asociado a la secuencia es el conjunto
es decir, el conjunto de índices tal que cada primo dividiendo también divide algunos para algunos . Por tanto, el teorema de Zsigmondy implica que , y el teorema de Carmichael dice que el conjunto Zsigmondy de la secuencia de Fibonacci es , y el de la secuencia de Pell es . En 2001 Bilu, Hanrot y VoutierY. Bilu, G. Hanrot, P.M. Voutier, Existence of primitive divisors of Lucas and Lehmer numbers, J. Reine Angew. Math. 539 (2001), 75-122 demostraron que, en general, si es una sucesión de Lucas o una sucesión de Lehmer, entonces (ver OEIS: A285314, solo hay 13 , a saber 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 18, 30). Las secuencias de Lucas y Lehmer son ejemplos de secuencias de divisibilidad.
También se sabe que si es una secuencia de divisibilidad elíptica, entonces su conjunto Zsigmondy es finito.J.H. Silverman, Wieferich's criterion and the abc-conjecture, J. Number Theory 30 (1988), 226-237 Sin embargo, el resultado es ineficaz en el sentido de que la prueba no da un límite superior explícito para el elemento más grande en , aunque es posible dar un límite superior efectivo para el número de elementos en .P. Ingram, J.H. Silverman, Uniform estimates for primitive divisors in elliptic divisibility sequences, Number theory, Analysis and Geometry, Springer-Verlag, 2010, 233-263.
Véase también Teorema de Carmichael
Referencias
Bibliografía
Enlaces externos
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