Un número primo de Fibonacci es un número de Fibonacci que es primo, un tipo de secuencia de números enteros primos.
Los primeros números primos de Fibonacci son :
2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, 433494437, 2971215073, ....
Primos de Fibonacci conocidos No se sabe si hay infinitos números primos de Fibonacci. Con la indexación comenzando con F1=F2=1, los primeros 34 son Fn para los n valores : n = 3, 4, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 43, 47, 83, 131, 137, 359, 431, 433, 449, 509, 569, 571, 2971, 4723, 5387, 9311, 9677, 14431, 25561, 30757, 35999, 37511, 50833, 81839, 104911.
Además de estos primos de Fibonacci probados, se han encontrado probables primos para n = 130021, 148091, 201107, 397379, 433781, 590041, 593689, 604711, 931517, 1049897, 1285607, 1636007, 1803059, 1968721, 2904353, 3244369, 3340367.
Excepto por el caso n = 4, todos los números primos de Fibonacci tienen un índice primo, porque si a divide a b, entonces también divide , pero no todo primo es el índice de un primo de Fibonacci.
F p es primo para 8 de los primeros 10 primos p ; las excepciones son F 2 = 1 y F 19 = 4181 = 37 × 113. Sin embargo, los números primos de Fibonacci parecen volverse más raros a medida que aumenta el índice. F p es primo para solo 26 de los 1,229 primos p por debajo de 10,000., , Sloane El número de factores primos en los números de Fibonacci con índice primo son: 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 1, 2, 4, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 3, 4, 2, 4, 4, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 2, 5, 3, 4, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 2, 3, 4, 2, 4, 4, 4, 3, 2, 3, 5, 4, 2, 1, ...
A marzo de 2017, el mayor número de Fibonacci primo conocido es F104911, con 21925 dígitos. Mathew Steine y Bouk de Water demostraron que era primo en 2015.Chris Caldwell, The Prime Database: U(104911) from the Prime Pages. Status: Fibonacci number, Elliptic Curve Primality Proof. Retrieved 2018-04-05. El principal número de Fibonacci primo probable más grande conocido es F3340367. Fue encontrado por Henri Lifchitz en 2018. Nick MacKinnon demostró que los únicos números de Fibonacci que también son miembros del conjunto de primos gemelos son 3, 5 y 13.N. MacKinnon, Problem 10844, Amer. Math. Monthly 109, (2002), p. 78
Divisibilidad de los números de Fibonacci Un primo divide si y solo si p es congruente con ±1 módulo 5, y p divide si y solo si es congruente con ±2 módulo 5. (Para p=5, F5=5 entonces 5 divide F5)
Los números de Fibonacci que tienen un índice primo p no comparten ningún divisor común mayor que 1 con los números de Fibonacci anteriores, debido a la identidad:Paulo Ribenboim, My Numbers, My Friends, Springer-Verlag 2000
lo que implica la infinitud de primos ya que es divisible por al menos un primo para todo .
For , Fn divide Fm si y solo si n divide m.Wells 1986, p.65
Si suponemos que m es un número primo p, y n es menor que p, entonces está claro que Fp, no puede compartir ningún divisor común con los números de Fibonacci precedentes.
Esto significa que Fp siempre tendrá factores característicos o será un factor característico principal en sí mismo. El número de factores primos distintos de cada número de Fibonacci se puede expresar en términos simples.
Fnk es un múltiplo de Fk para todos los valores de n y k tales que n≥1 y k≥1. Es seguro decir que Fnk tendrá "al menos" el mismo número de factores primos distintos que Fk. Todo Fp no tendrá factores de Fk, pero "al menos" un nuevo primo característico del teorema de Carmichael.
El teorema de Carmichael se aplica a todos los números de Fibonacci excepto a 4 casos especiales: y Si se miran los factores primos de un número de Fibonacci, habrá al menos uno de ellos que nunca antes apareció como factor en ningún número de Fibonacci anterior. Sea πn el número de factores primos distintos de Fn. Si k | n entonces excepto para Si k = 1, y n es un primo impar, entonces 1 | p and n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Fn 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 πn 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 3 3 1 3 2 4 3 2 1 4 2
El primer paso para encontrar el cociente característico de cualquier Fn es dividir los factores primos de todos los números de Fibonacci anteriores Fk para los cuales k|n.Jarden - Recurring sequences, Volume 1, Fibonacci quarterly, by Brother U. Alfred
Los cocientes exactos que quedan son factores primos que aún no han aparecido.
Si p y q son primos, entonces todos los factores de Fpq son característicos, excepto los de Fp y Fq.
Por lo tanto:
El número de factores primos distintos de los números de Fibonacci con un índice primo es directamente relevante para la función de conteo. p 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 πp 0 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 3 2 1 1 2 2 2 3 2 2 2 1 2 4
Rango de aparición
Para un primo p, el índice más pequeño u > 0 tal que Fu es divisible por p se llama rango de aparición (a veces llamado punto de entrada de Fibonacci) de p y se denota a(p). El rango de aparición a(p) se define para cada primo p. El rango de aparición divide el período Pisano π (p) y permite determinar todos los números de Fibonacci divisibles por p.
Para la divisibilidad de los números de Fibonacci por las potencias de un primo, y
En particular
Números primos de Wall-Sun-Sun
Un primo p ≠ 2, 5 se llama un primo de Fibonacci-Wieferich o un primo de Wall-Sun-Sun si donde
en el cual es el símbolo de Legendre definido como:
Se sabe que para p≠2, 5, a(p) es un divisor de:
Por cada primo p que no sea un primo Wall-Sun-Sun, como se ilustra en la siguiente tabla:
p 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 a(p) 3 4 5 8 10 7 9 18 24 14 30 19 20 44 16 27 58 15 a(p2) 6 12 25 56 110 91 153 342 552 406 930 703 820 1892 752 1431 3422 915
La existencia de números primos Wall-Sun-Sun es una conjetura.
Parte primitiva de Fibonacci La parte primitiva de los números de Fibonacci son 1, 1, 2, 3, 5, 4, 13, 7, 17, 11, 89, 6, 233, 29, 61, 47, 1597, 19, 4181, 41, 421, 199, 28657, 46, 15005, 521, 5777, 281, 514229, 31, 1346269, 2207, 19801, 3571, 141961, 321, 24157817, 9349, 135721, 2161, 165580141, 211, 433494437, 13201, 109441, ...
El producto de los factores primos primitivos de los números de Fibonacci son 1, 1, 2, 3, 5, 1, 13, 7, 17, 11, 89, 1, 233, 29, 61, 47, 1597, 19, 4181, 41, 421, 199, 28657, 23, 3001, 521, 5777, 281, 514229, 31, 1346269, 2207, 19801, 3571, 141961, 107, 24157817, 9349, 135721, 2161, 165580141, 211, 433494437, 13201, 109441, 64079, 2971215073, 1103, 598364773, 15251, ...
El primer caso de más de un factor primo primitivo es 4181 = 37 × 113 para .
La parte primitiva tiene un factor primo no primitivo en algunos casos. La relación entre las dos secuencias anteriores es 1, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 7, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 13, 1, 1, ....
Los números naturales n para los cuales tiene exactamente un factor primo primitivo son 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 43, 45, 47, 48, 51, 52, 54, 56, 60, 62, 63, 65, 66, 72, 74, 75, 76, 82, 83, 93, 94, 98, 105, 106, 108, 111, 112, 119, 121, 122, 123, 124, 125, 131, 132, 135, 136, 137, 140, 142, 144, 145, ...
Si y solo si un primo p está en esta secuencia, entonces es un primo de Fibonacci, y si y solo si 2p está en esta secuencia, entonces es un primo de Lucas (donde es la sucesión de Lucas), y si y solo si 2 n está en esta secuencia, entonces es un primo de Lucas.
Número de factores primos primitivos de son 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 3, 2, 4, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, ...
El factor primo menos primitivo de son 1, 1, 2, 3, 5, 1, 13, 7, 17, 11, 89, 1, 233, 29, 61, 47, 1597, 19, 37, 41, 421, 199, 28657, 23, 3001, 521, 53, 281, 514229, 31, 557, 2207, 19801, 3571, 141961, 107, 73, 9349, 135721, 2161, 2789, 211, 433494437, 43, 109441, 139, 2971215073, 1103, 97, 101, ...
Se conjetura que todos los factores primos de son primitivos cuando es un número primo.The mathematical magic of Fibonacci numbers Fibonacci Numbers and Primes
Véase también Número de Lucas
Referencias
Enlaces externos
Números primos de Fibonacci de R. Knott Números de Fibonacci Números primos de Fibonacci Récord de números primos de Fibonacci Factorización de los primeros 300 números de Fibonacci Factorización de números de Fibonacci y Lucas Pequeño programa Haskell paralelo para encontrar probables números primos de Fibonacci
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