En álgebra lineal, el teorema de Perron-Frobenius, probado por Oskar Perron (1907) y Georg Frobenius (1912), afirma que una matriz cuadrada real con entradas positivas tiene un valor propio real único más grande y que el vector propio correspondiente puede elegirse para tener estrictamente componentes positivos, y también afirma una declaración similar para ciertas clases de matrices no negativas. Este teorema tiene importantes aplicaciones a la teoría de la probabilidad (ergodicidad de las cadenas de Markov); a la teoría de sistemas dinámicos (subdesplazamientos de tipo finito); a la economía (teorema de Okishio, condición de Hawkins-Simon); a la demografía (modelo de distribución de edad de la población de Leslie ); a las redes sociales (proceso de aprendizaje DeGroot), a los buscadores de Internet e incluso al ranking de equipos de fútbol. El primero en discutir el orden de los jugadores dentro de los torneos usando vectores propios de Perron-Frobenius es Edmund Landau . Declaración Definamos una matriz positiva como una matriz con entradas reales tal que todos sus elementos son positivos, y una matriz negativa del mismo modo. Los valores propios de una matriz cuadrada real A son números complejos que componen el espectro de la matriz. La tasa de crecimiento exponencial de la matriz potencia Ak cuando k → ∞ está controlada por el valor propio de A con el valor absoluto más grande (módulo). El teorema de Perron-Frobenius describe las propiedades del valor propio principal y de los vectores propios correspondientes cuando A es una matriz cuadrada real no negativa. Los primeros resultados se debieron a Oskar Perron (1907) y se referían a matrices positivas. Posteriormente, Georg Frobenius (1912) encontró su extensión a ciertas clases de matrices no negativas. Matrices positivas
Sea una matriz positiva de : para . Entonces las siguientes proposiciones son válidas.
Hay un número real positivo r , llamado raíz de Perron o autovalor de Perron-Frobenius (también llamado autovalor principal o autovalor dominante ), de manera que r es un autovalor de A y cualquier otro autovalor λ (posiblemente complejo ) en valor absoluto es estrictamente menor que r , | λ | < r. Por tanto, el radio espectral AT es igual a r. Si los coeficientes de la matriz son algebraicos, esto implica que el valor propio es un número de Perron. El valor propio de Perron-Frobenius es simple: r es una raíz del polinomio característico de A. En consecuencia, el espacio propio asociado a r es unidimensional. (Lo mismo es cierto para el espacio propio izquierdo, es decir, el espacio propio para AT , la transposición de A). Existe un vector propio v=(v1,...,vn) de A con valor propio r tal que todos los componentes de v son positivos: A v = rv, v i> 0 para 1 ≤ i ≤ n . (Respectivamente, existe un vector propio izquierdo positivo w: w T A = rw T, w i > 0.) Se conoce en la literatura bajo muchas variaciones como el vector de Perron , vector propio de Perron, Vector propio de Perron-Frobenius , vector propio principal o vector propio dominante. No hay otros autovectores positivos (además no negativos) excepto los múltiplos positivos de v (respectivamente, autovectores izquierdos excepto w), es decir, todos los demás autovectores deben tener al menos un componente negativo o no real. , donde los vectores propios izquierdo y derecho para A están normalizados de modo que w T v = 1. Además, la matriz vw T es la proyección sobre el espacio propio correspondiente a r . Esta proyección se llama proyección Perron. Fórmula de Collatz –Wielandt : para todos los vectores x no negativos no nulos, sea f ( x ) el valor mínimo de [Ax] i/xi tomado sobre todos aquellos i tales que x i ≠ 0. Entonces f es un valor real función valorada cuyo máximo sobre todos los vectores x no negativos distintos de ceroes el valor propio de Perron-Frobenius. Una fórmula Collatz-Wielandt "Mín-máx" toma una forma similar a la anterior: para todos los vectores estrictamente positivos x , sea g (x) el valor máximo de [Ax] i/x i tomado sobre i . Entonces g es una función con valor real cuyo mínimo sobre todos los vectores estrictamente positivos x es el valor propio de Perron-Frobenius. Birkhoff - Varga fórmula:Sean x e y vectores estrictamente positivos. Entonces: Donsker, Varadhan y S. Friedland fórmulan: Que p sea un vector de probabilidad y x un vector estrictamente positivo. Entonces: Fórmula de Fiedler, El valor propio de Perron-Frobenius satisface las desigualdades.
Todas estas propiedades se extienden más allá de las matrices estrictamente positivas a las matrices primitivas (ver más abajo). Los hechos 1-7 se pueden encontrar en Meyer, capítulo 8, afirmaciones 8.2.11-15, página 667, y ejercicios 8.2.5, 7,9, páginas 668-669.
Los vectores propios izquierdo y derecho w y v a veces se normalizaron de manera que la suma de sus componentes es igual a 1; en este caso, a veces se denominan autovectores estocásticos . A menudo se normalizan de modo que el vector propio derecho v suma uno, mientras que .
Matrices no negativas Existe una extensión para matrices con entradas no negativas. Dado que cualquier matriz no negativa puede obtenerse como límite de matrices positivas, se obtiene la existencia de un vector propio con componentes no negativos; el valor propio correspondiente será no negativo y mayor o igual , en valor absoluto, a todos los demás valores propios. Sin embargo, para el ejemplo , el valor propio máximo r = 1 tiene el mismo valor absoluto que el otro valor propio −1; mientras que para, el valor propio máximo es r = 0, que no es una raíz simple del polinomio característico, y el vector propio correspondiente (1, 0) no es estrictamente positivo.
Sin embargo, Frobenius encontró una subclase especial de matrices no negativas, matrices irreducibles, para las que es posible una generalización no trivial. Para tal matriz, aunque los valores propios que alcanzan el valor absoluto máximo pueden no ser únicos, su estructura está bajo control: tienen la forma , donde r es realmente estrictamente positivo, y es un valor propio real estrictamente positivo, y rangos sobre las raíces h- ésimas complejas de 1 para algún entero positivo h llamado período de la matriz. El vector propio correspondiente a r tiene componentes estrictamente positivos (en contraste con el caso general de matrices no negativas, donde los componentes son solo no negativos). Además, todos estos valores propios son raíces simples del polinomio característico. A continuación se describen otras propiedades. Clasificación de matrices Sea A una matriz cuadrada (no necesariamente positiva o incluso real). La matriz A es irreducible si se cumple alguna de las siguientes propiedades equivalentes.
Definición 1: A no tiene subespacios de coordenadas invariantes no triviales. Aquí, un subespacio vectorial de coordenadas no trivial significa un subespacio lineal abarcado por cualquier subconjunto adecuado de vectores de base estándar de . Más explícitamente, para cualquier subespacio lineal generado por vectores de base estándar ei1 , ..., eik, 0 < k < n, su imagen bajo la acción de A no está contenida en el mismo subespacio vectorial.
De manera equivalente, la representación de grupo de en dada por no tiene subespacios de coordenadas invariantes no triviales. (En comparación, esto sería una representación irreductible si no hubiera subespacios invariantes no triviales en absoluto, no solo considerando los subespacios de coordenadas).
Definición 2: A no se puede conjugar en forma triangular superior de bloque mediante una matriz de permutación P:
donde E y G son matrices cuadradas no triviales (es decir, de tamaño mayor que cero).
Si A no es negativo, se aplica otra definición:
Definición 3: Uno puede asociarse con una matriz A un cierto grafo dirigido G A. Tiene exactamente n vértices, donde n es el tamaño de A , y hay una arista desde el vértice i al vértice j precisamente cuando A ij > 0. Entonces la matriz A es irreducible si y solo si su grafo asociado G A está fuertemente conectado .
Una matriz es reducible si no es irreducible.
Una matriz A es primitiva si no es negativa y su potencia m es positiva para algún número natural m (es decir, todas las entradas de A m son positivas).
Sea A no negativo. Fije un índice i y defina el período del índice i como el máximo común divisor de todos los números naturales m tal que (A m) ii > 0. Cuando A es irreducible, el período de cada índice es el mismo y se llama período de A . De hecho, cuando A es irreductible, el período se puede definir como el máximo común divisor de las longitudes de los caminos cerrados dirigidos en G A (ver Cocinas página 16). El período también se denomina índice de imprimitividad ( Meyer página 674) o el orden de ciclicidad. Si el período es 1, A es aperiódico. Se puede demostrar que las matrices primitivas son las mismas que las matrices irreductibles aperiódicas no negativas.
Todos los enunciados del teorema de Perron-Frobenius para matrices positivas siguen siendo verdaderos para matrices primitivas. Las mismas declaraciones también son válidas para una matriz irreductible no negativa, excepto que puede poseer varios valores propios cuyo valor absoluto es igual a su radio espectral, por lo que las declaraciones deben modificarse en consecuencia. De hecho, el número de esos valores propios es igual al período.
Los resultados de las matrices no negativas fueron obtenidos por primera vez por Frobenius en 1912. Teorema de Perron-Frobenius para matrices no negativas irreducibles Deje que A sea un irreducible no negativo n × n matriz con período h y espectral radio ρ (A) = r . Entonces las siguientes declaraciones son válidas. El número r es un número real positivo y es un valor propio de la matriz A, llamado valor propio de Perron-Frobenius. El valor propio r de Perron-Frobenius es simple. Ambos espacios propios, derecho e izquierdo, asociados con r son unidimensionales. A tiene un vector propio derecho v con un valor propio r cuyas componentes son todas positivas. Asimismo, A tiene un autovector izquierdo w con autovalor r cuyos componentes son todos positivos. Los únicos autovectores cuyos componentes son todos positivos son los asociados con el autovalor r. La matriz A tiene exactamente h (donde h es el período) valores propios complejos con valor absoluto r. Cada uno de ellos es una raíz simple del polinomio característico y es el producto de r con una h- ésima raíz de la unidad. Sea ω=2π/h. Entonces la matriz A es similar a e iωA , en consecuencia, el espectro de A es invariante bajo la multiplicación por eiω (correspondiente a la rotación del plano complejo por el ángulo ω). Si h>1 entonces existe una matriz de permutación P tal que
donde los bloques a lo largo de la diagonal principal son matrices cuadradas cero. 9. Fórmula de Collatz –Wielandt: para todos los vectores no negativos no nulos x sea f(x) el valor mínimo de [Ax] i/x i tomado sobre todos aquellos i tales que xi≠0. Entonces f es un función de valor real cuyo máximo es el valor propio de Perron-Frobenius. 10. El valor propio de Perron-Frobenius satisface las desigualdades
El ejemplo muestra que las matrices cero (cuadradas) a lo largo de la diagonal pueden ser de diferentes tamaños, los bloques Aj no necesitan ser cuadrados y h no necesita dividir n. Más propiedades Sea A una matriz no negativa irreducible, entonces:
(I+ A) n −1 es una matriz positiva. (Meyer reclamación 8.3.5 p. 672 ). Teorema de Wielandt.Si |B|< A, entonces ρ (B)≤ρ (A). Si se cumple la igualdad (es decir, si μ = ρ (A) e iφ es el valor propio de B), entonces B=eiφ D AD −1 para alguna matriz unitaria diagonal D (es decir, los elementos diagonales de D son iguales a e iΘ l, no diagonales son cero).