En matemática combinatoria se conoce como Identidad del palo de hockey o Identidad del Calcetín de Navidad a la igualdad:
o a su imagen equivalente mediante la sustitución :
miniaturadeimagen|379x379px|Triángulo de Pascal con filas desde la 0 hasta la 13. En la ilustración se muestran 3 casos de comprobación de la Identidad del palo de hockey. la cual representa la suma de o elementos, en la segunda igualdad, de una diagonal del triángulo de Pascal. El nombre de esta igualdad proviene de su representación gráfica sobre dicho triángulo, ya que cuando se resaltan los sumandos y el total, la forma revelada recuerda vagamente a esos objetos.
Demostraciones Como paso previo a las demostraciones, hay que recordar la llamada Regla de Pascal que relaciona los elementos de una fila del triángulo de Pascal con los de la fila siguiente:
O a su equivalente:
Inducción matemática Sea
Supongamos que la identidad se cumple para todo número , por lo que es válido expresar que:
Entonces, la igualdad debe cumplirse para el número :
Por lo que queda demostrada la identidad de manera inductiva.
Prueba algebraica (I) Tomemos la identidad básica y usemos la ecuación equivalente de la Identidad de Pascal de manera directa:
Prueba algebraica (II) Consideremos la serie geométrica:
Ya que la razón de esta serie es , la igualdad anterior se transforma en:
Desarrollemos los diferentes binomios a partir de :
Al sumar todos los coeficientes binomiales del término y sustituir después obtenemos:
con lo que queda demostrada la identidad. Prueba combinatoria (I)
Imagine que estamos distribuyendo caramelos indistinguibles a niños distinguibles. Mediante una aplicación directa del método de estrellas y barras, existen
formas de distribuirlos. De manera alterna, primero podemos darle caramelos al mayor de los niños, de modo que en esencia, damos caramelos a los niños restantes.y, nuevamente, mediante doble conteo y el método de las estrellas y barras, nosotros tenemos:
lo cual se simplifica al resultado deseado, haciendo un cambio de variable, al tomar y y observando que :
Prueba combinatoria (II) Podemos formar un comité de un tamaño de personas a partir de un grupo de personas en
maneras. Ahora entregamos números como a de las personas. Podemos dividir esto en casos inconexos. En general, en el caso de un número , tal que , la persona con el número está en el comité y las personas no están en dicho comité. Esto se puede hacer de
maneras. Ahora, podemos sumar los valores de estos casos diferentes, obteniendo:
lo que, nuevamente prueba la identidad.
Véase también
Identidad de Vandermonde Regla de Pascal Triángulo de Pascal
Enlaces externos
On AOPS On StackExchange, Mathematics Pascal's Ladder on the Dyalog Chat Forum Referencias
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