La trisectriz de Longchamps (también conocida como trébol equilátero) es una curva plana que lleva el nombre del matemático francés Gohierre de Longchamps (1842-1906), con la propiedad de se puede utilizar para realizar la trisección de un ángulo (de ahí la denominación de trisectriz).

Definición En un círculo con un centro y diámetro , el punto gira a una velocidad constante en la dirección angular positiva y el punto gira a doble velocidad en la dirección opuesta. El punto comienza en el punto y el punto en el otro extremo del diámetro en el punto . Las tangentes del círculo en los puntos y se cruzan en un punto . El lugar geométrico de los puntos es la trisectriz de Longchamps.

Ecuaciones Para un círculo con radio , cuyo centro está en el origen del sistema de coordenadas, se obtiene la siguiente ecuación en coordenadas polares:

.

La siguiente ecuación en coordenadas cartesianas se deduce de la expresión anterior:

.

Utilizando el parámetro en coordenadas cartesianas, se obtiene con funciones trigonométricas la forma:

.

También es posible expresar la curva según el parámetro en coordenadas cartesianas con funciones racionales:

.

Propiedades

La trisectriz de Longchamps tiene tres asíntotas y tres ejes de simetría:

Asíntotas , .

Ejes de simetría

La inversión de la trisectriz respecto al círculo de su definición genera un trébol regular.

Referencias

Bibliografía Gino Loria: Spezielle algebraische und transscendente Ebene Kurven: Theorie und Geschichte. Teubner, 1902, S. 87–88 Heinrich Wieleitner: Spezielle Ebene Kurven. G. J. Göschen, Leipzig 1908, S. 47 Vladimir Rovenski: Geometry of Curves and Surfaces with MAPLE. Springer, 2013, ISBN 9781461221289, S. 70 Eugene V. Shikin: Handbook and Atlas of Curves. CRC Press, 1996, ISBN 9780849389634, S. 355

Enlaces externos

Longchamps trisectrix en mathcurve.com

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