En álgebra, la identidad de Binet-Cauchy, que lleva el nombre de Jacques Philippe Marie Binet y de Augustin Louis Cauchy, establece que

para cada elección de un número real o número complejo (o más generalmente, elementos de un anillo conmutativo). Al configurar ai = ci y bj = dj, se obtiene la identidad de Lagrange, que es una versión más fuerte de la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz para el espacio euclídeo .

La identidad de Binet-Cauchy y el álgebra exterior Cuando , el primer y segundo términos en el lado derecho se convierten en las magnitudes cuadradas del producto escalar y del producto vectorial respectivamente; en las dimensiones , se convierten en las magnitudes del producto esscalar y del producto exterior. Se puede escribir como

donde , , y son vectores. También se puede escribir como una fórmula que da el producto escalar de dos productos exteriores, como

que se puede escribir como

en el caso .

En el caso especial y , la fórmula se convierte en

Cuando tanto como son vectores unitarios, se obtiene la relación habitual

donde es el ángulo entre los vectores.

Notación de Einstein Una relación entre los símbolos de Levi-Cevita y la delta de Kronecker generalizada es

La forma de la identidad de Binet-Cauchy se puede escribir como

Demostración miniaturadeimagen|Augustin-Louis Cauchy en 1901 Desarrollando el último término,

donde el segundo y cuarto términos son iguales y se suman para completar los términos de la siguiente manera:

Esto completa la prueba después de factorizar los términos indexados por "i".

Generalización Una forma general, también conocida como fórmula de Cauchy–Binet, establece lo siguiente: Supóngase que A es una matriz de orden m×n y B es una matriz de n×m. Si S es un subconjunto de {1, ..., n } con m elementos, se escribe AS para la matriz de m×m cuyas columnas son aquellas columnas de A que tienen índices de S. De manera similar, se escribe BS para la matriz de m×m cuyas filas son aquellas filas de B que tienen índices de S.

Entonces, el determinante del producto de A y B satisface la identidad

donde la suma se extiende sobre todos los posibles subconjuntos S de {1, ..., n} con m elementos.

Se obtiene la identidad original como un caso especial configurando

Referencias

Categoría:Identidad matemática Categoría:Álgebra multilineal