thumb|right|Construcción de un hexágono regular con regla y compásthumb|right|Construcción de un pentágono regular

La construcción con regla y compás es el trazado de puntos, segmentos de recta y ángulos usando exclusivamente una regla y compás idealizados. La geometría clásica griega impuso esa norma para las construcciones, aunque los griegos también investigaron las que pueden obtenerse con instrumentos menos básicos.

A la regla se le supone longitud infinita, carencia de marcas que permitan medir o trasladar distancias, y un solo borde. Del compás se supone que se cierra súbitamente cuando se separa del papel, de manera que no puede utilizarse directamente para trasladar distancias, porque «olvida» la separación de sus puntas en cuanto termina de trazar la circunferencia. Esta restricción del compás parece muy incómoda para los usuarios de compases reales, pero carece por otro lado de importancia matemática, porque el traslado de distancias se puede realizar de forma indirecta.

Cualquier punto que sea obtenible usando regla y compás puede conseguirse también usando únicamente compás. Como se verá, algunos problemas de geometría plana clásica imponen la restricción de «solo compás».

Los problemas más famosos que se propusieron para su resolución «con regla y compás» son la proverbial cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo, a los que a veces se añade la construcción del heptágono regular, el primero de los infinitos polígonos regulares imposibles de trazar mediante regla y compás. Tienen en común ser de resolución imposible: está matemáticamente demostrado que no se puede cuadrar el círculo, ni duplicar el cubo, ni trisecar el ángulo, ni trazar un heptágono regular usando exclusivamente la regla y el compás idealizados de la geometría griega.

Pese a esa «imposibilidad lógica» insalvable, muchos persisten en el intento de resolver estos famosos problemas.El matemático Underwood Dudley ha trabajado en la recopilación de falsas demostraciones "con regla y compás", así como de otras excentricidades matemáticas, que ha compilado en varios libros. Quizás, porque no aciertan a explicarse la imposibilidad, dado que son resolubles si se permiten transformaciones geométricas que no pueden realizarse con regla y compás «euclídeos». Duplicar el cubo es posible utilizando algunas construcciones geométricas que solo requieren un poco más que la regla y el compás clásicos.

La regla y el compás de la geometría clásica thumb|Compás idealizado. William Blake.

La regla y el compás de las construcciones geométricas son idealizaciones de las reglas y compases del mundo real. Son conceptos matemáticos abstractos, como pueda serlo la raíz cuadrada, y no instrumentos físicos.

El compás puede trazar circunferencias de cualquier radio dado, pero a diferencia de la mayoría de compases reales, no tiene ninguna marca que permita repetir una abertura predeterminada. Solo puede abrirse entre puntos que hayan sido previamente construidos, así que en realidad su única función es trazar una circunferencia, o parte de ella, con un centro predeterminado y un radio también determinado por un punto prefijado. Además, se trata de un compás "idealizado", que en cuanto deja de tocar el papel se cierra, perdiendo todo recuerdo del radio de la circunferencia que acaba de trazar.

La regla, carece de marcas que permitan medir con ella, y solo tiene un borde, cosa insólita en las reglas mundanas (si tuviera, por ejemplo, dos bordes, permitiría trazar rectas paralelas). Puede usarse solo con un fin modesto: trazar una recta entre dos puntos que ya existan en el papel, o bien prolongar (tanto como se desee, eso sí) una de esas rectas.

Por supuesto, la regla y compás ideales deben usarse para hacer construcciones ideales. Los dibujos del mundo real tienen imperfecciones: los puntos son en realidad manchas tridimensionales, los segmentos de recta son en realidad cuasi-paralelepípedos o «franjas» algo irregulares de cierta anchura y altura, etc. Estas manchas proyectan sombras cuando son iluminadas por lámparas especiales de luz rasante, que se utilizan profesionalmente para el estudio de las falsificaciones, pues permiten distinguir si un trazo está por encima de otro observando las sombras. Pero las construcciones con regla y compás de la geometría clásica se hacen en la mente, más que en el papel, y son tan idealmente precisas como el álgebra.

Puestas así las cosas, parecería que las construcciones con regla y compás son un simple «juego», más que una disciplina científica seria. Buscar la solución a cualquier construcción particular es un pasatiempo interesante, pero el verdadero interés científico, que estuvo abierto durante más de dos mil años hasta ser resuelto en el , coincidiendo con la demostración de los teoremas fundamentales sobre ecuaciones polinómicas, con la comprensión profunda de los números irracionales y trascendentes y con la aparición del álgebra abstracta, está en los problemas que desbordan los límites de lo factible con regla y compás. Lo interesante es lo que no se puede hacer con regla y compás.

Los tres problemas insolubles clásicos de construcción con regla y compás son:

thumb|right|Ilustración de un diccionario de arquitectura francesa, el Dictionnaire Raisonné de l'architecture Française du XIe au XVIe siècle (1856).

Cuadratura del círculo: Se trata de dibujar un cuadrado que tenga la misma superficie que un círculo dado. Se aporta como dato de partida el círculo a cuadrar (su centro y uno de los puntos de su circunferencia), y se considera resuelto el problema cuando consigue trazarse el segmento de recta que es un lado del cuadrado que iguala el área de dicho círculo.

Duplicación del cubo: Ha de dibujarse el lado de un cubo cuyo volumen duplique al de otro cubo del que se da el lado como dato de partida.

Trisección del ángulo: Debe dividirse un ángulo dado en tres ángulos más pequeños, los tres del mismo tamaño, cuya suma sea igual al ángulo dado. Se aporta como dato el ángulo a trisecar (las dos rectas que lo forman, o puntos que permitan trazarlas) y se consideraría resuelto el problema cuando se traza un ángulo cuya apertura es un tercio de la del ángulo dado.

Estos problemas resistieron durante 2000 años los incontables intentos de encontrar construcciones que los resolvieran con regla y compás, de acuerdo con las normas antes indicadas. A mediados del se demostró matemáticamente que es imposible hacerlo.

Los tres problemas clásicos no son los únicos cuya solución se ha demostrado imposible. La construcción de determinados (infinitos) polígonos regulares, como por ejemplo el heptágono (polígono regular de 7 lados) o el endecágono (polígono regular de 11 lados) también es imposible con regla y compás.

Historia Los matemáticos clásicos griegos fueron quienes intentaron hacer construcciones con regla y compás por primera vez; descubrieron cómo construir sumas, diferencias, productos, razones y raíces cuadradas de longitudes dadas.Bold, Benjamin. Famous Problems of Geometry and How to Solve Them, Dover Publications, 1982 (orig. 1969). Sabían también bisecar ángulos, doblar cuadrados (construir un cuadrado con área doble de uno dado), construir un cuadrado con la misma área que un polígono dado, y construir polígonos regulares de 3, 4 y 5 lados o uno con el doble de lados que otro dado. En cambio, no sabían trisecar ángulos excepto en algunos casos particulares, como el ángulo llano, o el ángulo recto, ni construir un cuadrado con igual área que un círculo dado o polígonos con un número de lados distinto de los descritos antes (el heptágono, por ejemplo). Tampoco eran capaces de construir el lado de un cubo cuyo volumen debería ser el doble que el de otro cubo dado.

Hipócrates y Menecmo mostraron que el volumen del cubo podía ser doblado encontrando intersecciones de hipérbolas y parábolas, pero estas no podían ser construidas con regla y compás. En el siglo quinto antes de nuestra era, Hipias usó una curva, a la que llamó cuadratriz, tanto para trisecar el ángulo general como para llevar a cabo la cuadratura del círculo, y Nicomedes, en el siglo segundo antes de Cristo mostró cómo usar un concoide para trisecar un ángulo arbitrario; pero ninguno de estos métodos podía ser ejecutado mediante el uso exclusivo de regla y compás.

En dos milenios no se consiguió ningún progreso en estos problemas sin resolver, hasta que, en 1796, Gauss mostró que un polígono regular de 17 lados sí podía ser construido con estas herramientas; cinco años después demostró un criterio suficiente para que un polígono regular de lados fuera construible.

En 1837, Pierre Wantzel publicó demostraciones de la imposibilidad de la trisección del ángulo general y de la duplicación del cubo, basadas en la imposibilidad de construir raíces cúbicas de longitudes con regla y compás. También demostró que la condición suficiente de constructibilidad de polígonos regulares que había demostrado Gauss era también necesaria.Kazarinoff, Nicholas D. (2003) . Ruler and the Round. Mineola, N.Y.: Dover. pp. 29-30.

Más tarde, en 1882, Lindemann demostró que es un número trascendente, de lo que se puede deducir que es imposible, sólo con regla y compás, la cuadratura del círculo.

Las construcciones básicas

Todas las construcciones con regla y compás son aplicaciones sucesivas de cinco construcciones básicas, usando en cada una los puntos, rectas y círculos que se hayan creado en fases anteriores. Esas cinco únicas construcciones posibles son:

350px|right|Construcciones básicas

Crear el segmento de recta que une dos puntos preexistentes (en realidad, la recta: recuérdese que la regla es de longitud infinita). Crear el círculo con centro en un punto dado y cuya circunferencia toca otro punto dado Crear el punto en el que se intersecan dos rectas no paralelas. Crear el punto, o la pareja de puntos, en los que se intersecan (si lo hacen) una línea y una circunferencia. Crear el punto o el par de puntos en los que se intersecan (si lo hacen) dos circunferencias.

Por ejemplo, partiendo de dos puntos dados, se puede crear una recta, o bien se pueden crear dos círculos (cada punto hace de centro de un círculo y de extremo de otro). Si optamos por los dos círculos, su intersección dará lugar a dos nuevos puntos. Si trazamos segmentos de recta entre los puntos originales y uno de los nuevos puntos, habremos construido un triángulo equilátero. Así pues, el problema: "construir un triángulo equilátero dado uno de sus lados (o los puntos extremos de uno de sus lados) es trivialmente resoluble con regla y compás.

Construcciones clásicas con regla y compás Las construcciones con regla y compás más utilizadas incluyen las siguientes:

Construir la mediatriz un segmento. Encontrar el punto medio de un segmento. Dibujar la recta perpendicular a otra que pase por un punto dado. Bisecar un ángulo. Reflejar un punto respecto a una recta. Construir la recta tangente a una circunferencia que pasa por un punto dado. Construir la circunferencia que pasa por tres puntos no alineados. Construir la recta paralela a otra que pasa por un punto dado. A continuación se presentan animaciones o imágenes que representan estas construcciones con regla y compás (se pueden ver en más detalle dentro de los artículos enlazados en la anterior lista):

Puntos y longitudes construibles Uno de los objetivos de este artículo es demostrar la imposibilidad de ciertas construcciones sólo con regla y compás. Hay muchas formas distintas de demostrar que algo es imposible. La estrategia que se seguirá en este artículo para presentar un esquema informal de las demostraciones de imposibilidad de los problemas clásicos es la de determinar en primer lugar los límites de la regla y el compás —lo que se puede hacer y lo que no se puede hacer con ellos—, y mostrar seguidamente que para resolver los problemas deberían superarse tales límites.