Cero elevado a cero (denotado ) es una expresión matemática que se define como 1 o se deja indeterminada, dependiendo del contexto. En álgebra y combinatoria, se suele definir como 1. En análisis matemático, a veces no se define. Los lenguajes de programación y los programas de ordenador también tienen formas diferentes de tratar esta expresión.

Exponentes enteros Muchas fórmulas ampliamente utilizadas que implican exponentes de números naturales requieren que se defina como . Por ejemplo, las tres interpretaciones siguientes de tienen tanto sentido para como para los enteros positivos :

La interpretación de como producto vacío le asigna el valor ; la interpretación combinatoria de es el número de 0-tuplas de elementos de un conjunto de -elementos; hay exactamente una 0-tupla; la interpretación en teoría de conjuntos de es el número de funciones del conjunto vacío a un conjunto de -elementos; existe exactamente una función de este tipo, a saber, la función vacía.

Los tres se particularizan en dar  = 1.

Polinomios y series de potencias Al evaluar polinomios, es conveniente definir como 1. Un polinomio (real) es una expresión de la forma , donde es una indeterminada, y los coeficientes son números reales. Los polinomios se suman por términos y se multiplican aplicando la ley distributiva y las reglas habituales para los exponentes. Con estas operaciones, los polinomios forman un anillo .

Exponentes continuos derecha|miniaturadeimagen|300x300px|Dibujo de . Las curvas rojas (con constante) tienen diferentes límites cuando se aproxima a . En cambio las curvas verdes (de pendiente constante finita, ) tienden todas a cuando nos aproximamos al origen. Los límites que involucran operaciones algebraicas a menudo pueden ser evaluadas reemplazando las variables por sus límites. Si la expresión resultante no determina el límite, la expresión es conocida como una forma indeterminada. De hecho, cuándo y son funciones reales ambas con límite 0 cuando tiende a infinito y , la función no necesariamente se acerca a cuando y tienden a 0. En ese caso, el límite de puede ser cualquier número real o puede divergir. Por ejemplo, las funciones de más abajo son de la forma con y cuando pero los límites son diferentes:

Así, la función de dos variable es continua en el dominio pero no se puede extender como función continua el dominio . Aun así, bajo ciertas condiciones, como cuándo y son ambas unciones analíticas en cero y es positiva en el intervalo abierto para algún positivo , el límite por la derecha en 0 siempre es .

Exponentes complejos En los números complejos, la función puede ser definida para no nulo eligiendo una rama de y definiendo como . Esto no define puesto que no hay ninguna rama de definida en 0."Since does not exist, is undefined. For , we define it arbitrarily as ." George F. Carrier, Max Krook and Carl E. Pearson, Functions of a Complex Variable: Theory and Technique, 2005, p. 15 "For , , we define , while is not defined." Mario Gonzalez, Classical Complex Analysis, Chapman & Hall, 1991, p. 56. "... Let's start at . Here is undefined." Mark D. Meyerson, The Spindle, Mathematics Magazine 69, no. 3 (June 1996), 198-206.

La historia de desde diferentes puntos de vista El debate sobre la definición de viene desde al menos desde comienzos del . En aquel tiempo, la mayoría de los matemáticos estaba de acuerdo en que , hasta que en 1821 CauchyAugustin-Louis Cauchy, Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). In his Oeuvres Complètes, series 2, volume 3. listó junto con las expresiones del tipo en la tabla de formas indeterminadas. En el año 1830 en el Guglielmo Libri Carucci dalla SommajaGuillaume Libri, Note sur les valeurs de la fonction , Journal für die reine und angewandte Mathematik 6 (1830), 67–72.Guillaume Libri, Mémoire sur les fonctions discontinues, Journal für die reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303–316. publicó un argumento poco convincente de que , y Möbius a la par, erróneamente afirmó que siempre y cuando . Un comentarista (que firmó su nombre sencillamente como "S") proporcionó un contraejemplo con la función , y esto calmó el debate por algún tiempo. Más detalles históricos pueden encontrarse en Knuth (1992).Donald E. Knuth, Two notes on notation, Amer. Math. Monthly 99 no. 5 (May 1992), 403–422 ().

Autores más recientes interpretan la situación de diferentes maneras:

Algunos argumentan que el valor más adecuado para depende del contexto. Según Benson (1999), "La elección de como definir está basada en la conveniencia, no en la exactitud. [...] El consenso es utilizar la definición , a pesar de que hay libros de texto que creen que es conveniente no establecer una definición."Examples include Edwards and Penny (1994). Calculus, 4th ed, Prentice-Hall, p. 466, and Keedy, Bittinger, and Smith (1982). Algebra Two. Addison-Wesley, p. 32. Otros argumentan que debería ser definido como 1. Knuth (1992) afirma fuertemente que "tiene que ser 1", resaltando una distinción entre el valor , el cual tiene que ser igual a 1, de acuerdo a lo dicho por Libri, y la forma límite (una abreviatura para un límite de cuando ), la cual es necesariamente una forma indeterminada como fue dicho por Cauchy: "Ambos Cauchy y Libri dijeron lo correcto, pero Libri y sus defensores no entendieron por qué la verdad estaba de su lado."Donald E. Knuth, Two notes on notation, Amer. Math. Monthly 99 no. 5 (May 1992), 403–422 (). Vaughn da muchos ejemplos de teoremas cuyos enunciados requieren que para ser expresados en forma sencilla.

Referencias

Enlaces externos sci.Matemática FAQ: Qué es 00? Qué 00 (cero al zeroth poder) igual? En Askamathematician.com

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