Una modelización matemática se basa en la compresión de fenómenos reales, obteniendo resultados matemáticos. Dubois (1984) propone cuatro modelizaciones distintas que se encuentran relacionadas entre sí: 1ª modelización: selección o muestreo simple de una muestra a partir de k objetos de un total de n objetos distinguibles. 2ª modelización: distribución, almacenamiento o colocación de k objetos en n recipientes. 3ª modelización: partición en subconjuntos n de un conjunto de objetos k 4ª modelización: descomposición de un número natural k en n sumandos enteros no negativos.

1ª Modelización Selección o muestreo simple, de objetos de un total de objetos distinguibles.

En esta modelización hay 4 posibles tipos de selección: Muestra ordenada Si la muestra está ordenada, importa el orden de sus objetos, se hallan con los siguientes casos: Sin reemplazamiento: El número de selecciones que se producen viene dada por la Variación: . Con reemplazamiento: La cantidad de selecciones se calculan mediante Variaciones con repetición: . Muestra no ordenada Si la muestra no está ordenada, el orden de sus objetos no es importante, se distinguen estos casos: Sin reemplazamiento: Las posibles selecciones en este caso se obtienen con Combinaciones: . Con reemplazamiento: El número total de selecciones viene dado por Combinaciones con repetición: .

Hay un caso particular de Variación: que se conoce como Permutación: , este caso corresponde al número de muestras ordenadas sin reemplazamiento de n objetos de un conjunto de n objetos distinguibles. Sin reemplazamiento se refiere a que el elemento utilizado ya no puede volverse a usar, mientras con reemplazamiento si.

2ª Modelización Distribución, almacenamiento o colocación de k objetos en n recipientes.

Para dicha modelización hay que diferencia la situación en la que se encuentran los n recipientes para saber el tipo de aplicación a la que corresponde. Aplicaciones cualesquiera: recipientes vacíos o con más de un objeto. Aplicación inyectiva: todos los recipientes tienen uno o ningún objeto. Aplicación sobreyectiva: no hay ningún recipiente vacío y puede tener más de un objeto. Aplicación biyectiva: todos los recipientes poseen solo objeto.

Distribución ordenada Si la distribución se encuentra ordenada existen 8 tipos de distribuciones, en las que los objetos serán distinguibles. Podemos diferenciar entre recipientes distinguibles e indistinguibles.

En los recipientes distinguibles, podemos obtener las siguientes aplicaciones: Aplicaciones cualesquiera: El número de distribuciones viene dado por el producto de Permutación por Combinación con repetición: P(k)CR(n,k). Aplicación inyectiva: El número de distribuciones viene dado por la Variación: V(n,k) . Aplicación sobreyectiva: Para averiguar el número de distribuciones se realiza el producto de Permutación por los números de Lah sin signo: P(n)L(k,n). Aplicación biyectiva: El número de distribuciones se calcula por la Permutación: P(n).

En los recipientes indistinguibles, podemos obtener las siguientes aplicaciones:: Aplicaciones cualesquiera: El número de distribuciones viene dado por = . Aplicación inyectiva: El número de distribuciones es 1. Aplicación sobreyectiva: Para averiguar el número de distribuciones se utiliza los números de Lah sin signo: L(k,n). Aplicación biyectiva: El número de distribuciones es 1.

Distribución no ordenada Si la distribución se encuentra ordenada existen 16 tipos de distribuciones, en las que podemos diferenciar entre objetos distinguibles e indistinguibles. En los objetos distinguibles, podemos observar los siguientes recipientes: Recipientes distinguibles, podemos obtener las siguientes aplicaciones: Aplicaciones cualesquiera: El número de distribuciones viene dado por la Variación con repetición: VR(n,k). Aplicación inyectiva: El número de distribuciones viene dado por la Variación: V(n,k). Aplicación sobreyectiva: El número de distribuciones viene dado por el producto de Permutación por el número de Stirling de 2.ª especie:P(n)S(k, n). Aplicación biyectiva: El número de distribuciones se calcula por la Permutación: P(n).

Recipientes indistinguibles, podemos obtener las siguientes aplicaciones: Aplicaciones cualesquiera: . Aplicación inyectiva: El número de distribuciones es 1. Aplicación sobreyectiva: El número de distribuciones se calcula por el número de Stirling de 2.ª especie: S(k, n). Aplicación biyectiva: El número de distribuciones es 1.

En los objetos indistinguibles, podemos observar los siguientes recipientes: Recipientes distinguibles, podemos obtener las siguientes aplicaciones: Aplicaciones cualesquiera: El número de distribuciones viene dado por Combinación con repetición: CR(n,k). Aplicación inyectiva: El número de distribuciones viene dado por Combinación : C(n,k). Aplicación sobreyectiva: El número de distribuciones viene dado por Combinación con repetición: CR(n,k-n). Aplicación biyectiva: El número de distribuciones es 1.

Recipientes indistinguibles, podemos obtener las siguientes aplicaciones: Aplicaciones cualesquiera: Π(k,n). Aplicación inyectiva: El número de distribuciones es 1. Aplicación sobreyectiva: El número de distribuciones viene dado por p(k,n) que satisface la recurrencia. Aplicación biyectiva: El número de distribuciones es 1.

3ª Modelización Partición de un conjunto de elementos en subconjuntos.

En esta modelización se pueden diferenciar distintos tipos de particiones simples: Subconjunto no ordenado y elementos distinguibles Si el subconjunto no está ordenado y sus elementos son distinguibles se aprecian 8 tipos de particiones: Particiones ordenadas: Vacío y no unitarios: Para obtener el número de particiones se hace mediante Variaciones con repetición: . Vacío y unitarios: El total de particiones se obtiene con Variaciones: . No vacíos: El cálculo de dichas particiones se consiguen mediante el producto de la Permutación por el Números de Stirling de segunda especie: . Unitarios: La cantidad de particiones viene dada por la Permutación: .

Particiones no ordenadas: Vacío y no unitarios: . Vacío y unitarios: El número de posibles particiones es 1. No vacíos: El número de particiones viene dada por el Números de Stirling de segunda especie: . Unitarios: El número de posibles particiones es 1.

Subconjunto no ordenado y elementos indistinguibles Si el subconjunto no está ordenado y sus elementos no se pueden distinguir, pueden apreciarse 8 tipos: Particiones ordenadas: Vacío y no unitarios: Para calcular las posibles particiones hay que utilizar Combinaciones con repetición: . Vacío y unitarios: El número total de particiones viene dado por Combinaciones: . No vacíos: La cantidad de particiones se calcula mediante Combinaciones con repetición: . Unitarios: El número de posibles particiones es 1.

Particiones no ordenadas: Vacío y no unitarios: . Vacío y unitarios: El número de posibles particiones es 1. No vacíos: . tiene que satisfacer la recurrencia = + , con = 1 y = = 1 Unitarios: El número de posibles particiones es 1.

Subconjunto ordenado y elementos distinguibles Si el subconjunto se encuentra ordenado y cuyos elementos son distinguibles, hay 8 tipos de particiones: Particiones ordenadas: Vacío y no unitarios: El número total de particiones se calcula con el producto de la Permutación por Combinaciones con repetición: . Vacío y unitarios: Las posibles particiones vienen dada por la Variación: . No vacíos: Para el cálculo de las posibles particiones se realiza el producto de la Permutación por los números de Lah sin singno: . Unitarios: El número de particiones viene dada por Permutación: .

Particiones no ordenadas: Vacío y no unitarios: El cálculo de particiones viene dado por = . Vacío y unitarios: El número de posibles particiones es 1. No vacíos: Las particiones se calcular mediante los números de Lah sin singno = . Unitarios: El número de posibles particiones es 1. Cuando un subconjunto está vacío se refiere a que dentro de él no hay ningún elemento. Cuando es unitario se debe a que en cada subconjunto solo hay un elemento y no unitario porque hay más de un elemento.

4ª Modelización Descomposición de un número natural k en n sumandos enteros no negativos. Un entero positivo k se puede descomponer en n sumandos enteros no negativos, se clasifican dependiendo de su descomposición y sus sumandos: La descomposición se puede calificar en dos tipos: Ordena No ordenada Los sumandos pueden clasificarse como: No negativos Cero y uno Positivos Uno

Descomposición ordenada Si la descomposición se encuentra ordenada existen 4 tipos de descomposiciones, dependerán del tipo de sumando que sea: No negativos El número de descomposiciones vienen dados por la Combinación con repetición: CR(n,k) Cero y uno El número de descomposiciones se calculan por la Combinación: C(n,k) Positivos Las descomposiciones se calculan por la Combinación con repetición: CR(n,k-n) Uno El número de distribuciones es 1 Descomposición desordenada Si la descomposición se encuentra desordenada existen 4 tipos de descomposiciones, dependerán del tipo de sumando que sea: No negativos Π(k,n) Cero y uno El número de distribuciones es 1 Positivos El número de distribuciones viene dado por p(k,n) que satisface la recurrencia Uno El número de distribuciones es 1

Enlaces externos Modelización

Referencias Dubois, Jean-Guy. Une systématique des configurations combinatoires simples. Educational Studies in Mathematics 15, 37–57 (1984) doi:10.1007/BF00380438 V. Navarro-Pelayo; Carmen Batanero; Juan D. Godino (1996). Razonamiento Combinatorio en Alumnos de Secundaria. Rafael Roa (2000). Razonamiento Combinatorio en Estudiantes con Preparación Matemática Avanzada. Tan Mingshu (2011). Some Combinatorial Identities and Explanations Based on Occupancy Model.

Categoría:Combinatoria