En matemáticas, un grupo de Coxeter, llamado así por el matemático británico H. S. M. Coxeter (1907-2003), es un grupo abstracto que admite una descripción formal en términos de reflexiones (o espejos caleidoscópicos). De hecho, los grupos de Coxeter finitos son precisamente los grupos de reflexión euclídeos finitos, de los que los grupos de simetría de los poliedros regulares son un ejemplo. Sin embargo, no todos los grupos de Coxeter son finitos, y no todos pueden describirse en términos de simetrías y reflexiones euclídeas. Los grupos de Coxeter se introdujeron como abstracciones de los grupos de reflexión, y los grupos de Coxeter finitos se clasificaron en 1935 .
Estas estructuras algebraicas encuentran aplicaciones en muchas áreas de las matemáticas. Ejemplos de grupos de Coxeter finitos incluyen los grupos de simetría de los politopos regulares y los grupos de Weyl del álgebra de Lie simple. Los ejemplos de grupos de Coxeter infinitos incluyen los grupos triangulares correspondientes a los teselados regulares del plano euclídeo y del plano hiperbólico, y los grupos de Weyl del álgebra de Kac-Moody de dimensión infinita.
Entre las referencias estándar sobre el tema figuran los textos de y .
Definición Formalmente, un grupo de Coxeter se puede definir como un grupo con la presentación
donde y para . La condición significa que no se debe imponer ninguna relación de la forma .
El par donde es un grupo de Coxeter con generadores se llama sistema de Coxeter. Téngase en cuenta que, en general, no está determinado únicamente por . Por ejemplo, los grupos de Coxeter de tipo y son isomórficos, pero los sistemas de Coxeter no son equivalentes (véanse a continuación una explicación de esta notación).
Se pueden extraer varias conclusiones inmediatamente de la definición anterior: La relación significa que para todos los ; como tales los generadores son involuciones. Si , entonces los generadores y conmutan. Esto se sigue al observar que , que junto con
implica que . Alternativamente, dado que los generadores son involuciones, , entonces , y por lo tanto es igual a un conmutador. Para evitar la redundancia entre las relaciones, es necesario asumir que . Esto se sigue al observar que , que junto con
implica que . Alternativamente, y son elementos conjugados, como .
Matriz de Coxeter y matriz de Schläfli La matriz de Coxeter es la matriz simétrica de orden con valores . De hecho, cada matriz simétrica con valores diagonales exclusivamente 1 y valores no diagonales en el conjunto es una matriz de Coxeter.
La matriz de Coxeter se puede codificar convenientemente mediante un diagrama de Coxeter, según las siguientes reglas: Los vértices del gráfico están etiquetados por subíndices del generador. Los vértices y son adyacentes si y solo si . Un lado se etiqueta con el valor de siempre que el valor sea o mayor.
En particular, dos generadores conmutan si y solo si no están conectados por un lado. Además, si un gráfico de Coxeter tiene dos o más componentes conectados, el grupo asociado es el producto directo de los grupos asociados a los componentes individuales. Por lo tanto, la unión disjunta de los gráficos de Coxeter produce un producto directo de los grupos de Coxeter.
La matriz de Coxeter, , está relacionada con la matriz de Schläfli de orden con valores , pero los elementos se modifican, siendo proporcionales al producto escalar de los generadores por pares. La matriz de Schläfli es útil porque su autovalores determinan si el grupo de Coxeter es de "tipo finito" (todo positivo), "tipo afín" (todo no negativo, al menos un cero) o "tipo indefinido" (en caso contrario). El tipo indefinido a veces se subdivide aún más, por ejemplo, en elementos hiperbólicos y otros grupos de Coxeter. Sin embargo, existen múltiples definiciones no equivalentes para los grupos hiperbólicos de Coxeter.
+ EjemplosGrupo de Coxeter A1×A1 A2 B2 H2 G2 A3 B3 D4 Diagrama de CoxeterMatriz de CoxeterMatriz de Schläfli
Un ejemplo El gráfico , en el que los vértices desde 1 hasta n se colocan en una fila, con cada vértice conectado por un enlace no marcado con sus vecinos inmediatos, da lugar al grupo simétrico Sn+1; generadores correspondientes a las transposiciones (1 2), (2 3), ..., (n n+1). Dos transposiciones no consecutivas siempre conmutan, mientras que (k k+1) (k+1 k+2) dan lugar al ciclo ternario (k k+2 k+1). Por supuesto, esto solo muestra que Sn+1 es un grupo cociente del grupo de Coxeter descrito por el gráfico, pero no es demasiado difícil verificar que la igualdad se mantiene.
Conexión con grupos de reflexión
Los grupos de Coxeter están profundamente conectados con el grupo de reflexión. En pocas palabras, los grupos de Coxeter son grupos abstractos (dados a través de una presentación), mientras que los grupos de reflexión son grupos concretos (dados como subgrupos de grupos lineales o varias generalizaciones). Los grupos de Coxeter surgieron del estudio de los grupos de reflexión, siendo una abstracción de los mismos: un grupo de reflexión es un subgrupo de un grupo lineal generado por reflexiones (que tienen un orden 2), mientras que un grupo de Coxeter es un grupo abstracto generado por involuciones (elementos de orden 2, abstracción de reflexiones), y cuyas relaciones tienen una cierta forma (, correspondiente a hiperplanos que se encuentran en un ángulo de , con siendo una abstracción de orden k de una rotación según un ángulo de ).
El grupo abstracto de un grupo de reflexión es un grupo de Coxeter, mientras que, a la inversa, un grupo de reflexión puede verse como una representación lineal de un grupo de Coxeter. Para grupos de reflexión finitos, esto produce una correspondencia exacta: cada grupo de Coxeter finito admite una representación fiel como grupo de reflexión finita de algún espacio euclideo. Sin embargo, para grupos de Coxeter infinitos, un grupo de Coxeter puede no admitir una representación como grupo de reflexión.
Históricamente, demostró que cada grupo de reflexión es un grupo de Coxeter (es decir, tiene una presentación donde todas las relaciones son de la forma o ), y de hecho este documento introdujo la noción de grupo de Coxeter, mientras que demostró que cada grupo de Coxeter finito posee una representación como grupo de reflexión, y clasificó los grupos de Coxeter finitos.
Grupos de Coxeter finitos
Clasificación Los grupos de Coxeter finitos se clasificaron en , en términos de diagramas de Coxeter; todos están representados por grupos de reflexión de espacios euclídeos de dimensiones finitas.
Los grupos de Coxeter finitos consisten en tres familias de un parámetro de rango creciente una familia de un parámetro de dimensión dos, y seis grupos excepcionales: y
Grupos de Weyl
Muchos, pero no todos, son grupos de Weyl, y cada grupo de Weyl puede realizarse como un grupo de Coxeter. Los grupos de Weyl son las familias y y las excepciones y denotadas en la notación de grupo de Weyl como Los grupos que no son de Weyl son las excepciones y y la familia , excepto cuando coincide con uno de los grupos de Weyl (es decir, y ).
Esto se puede probar comparando las restricciones en los diagramas de Dynkin (no dirigidos) con las restricciones en los diagramas de Coxeter de grupos finitos: formalmente, el grafo de Coxeter se puede obtener del diagrama de Dynkin descartando la dirección de los bordes y reemplazando cada borde doble con un borde etiquetado como 4, y cada borde triple por un borde etiquetado como 6. Obsérvese también que cada grupo de Coxeter generado finitamente es un grupo automático. Los diagramas de Dynkin tienen la restricción adicional de que las únicas etiquetas de borde permitidas son 2, 3, 4 y 6, lo que produce el resultado anterior. Geométricamente, esto corresponde al teorema de restricción cristalográfica, y al hecho de que los politopos excluidos no llenan el espacio ni recubren el plano; para el dodecaedro (dualmente, icosaedro) no rellena el espacio; para , el panal de 120 celdas (doblemente, 600 celdas) no rellenan el espacio; para un p-gono no recubre el plano con un mosaico excepto o (los teselados triangulares, cuadrados y hexagonales, respectivamente).
Téngase en cuenta además que los diagramas (dirigidos) de Dynkin Bn y Cn dan lugar al mismo grupo de Weyl (de ahí el grupo de Coxeter), porque difieren como gráficos dirigidos, pero están de acuerdo como gráficos no dirigidos: la dirección es importante para los sistemas raíz pero no para el grupo de Weyl; esto corresponde a que un hipercubo y politopo de cruce sean politopos regulares diferentes pero que tengan el mismo grupo de simetría.
Propiedades Algunas propiedades de los grupos de Coxeter irreducibles finitos se dan en la siguiente tabla. El orden de los grupos reducibles puede calcularse por el producto de sus órdenes de subgrupos irreducibles.
OrdennSímbolodel grupo SímboloAlternativo Notación de corchetesGrafo de Coxeter Reflexionesm = ½nhHarold Scott MacDonald Coxeter, Regular polytopes, §12.6 The number of reflections, equation 12.61Número de Coxeterh Orden Estructura de grupo Politopos relacionados1 A1 A1 [ ] 1 2 2 { }2 A2 A2 3 3 6 {3} 3 A3 A3 [3,3] 6 4 24 {3,3} 4 A4 A4 [3,3,3] 10 5 120 {3,3,3} 5 A5 A5 [3,3,3,3] 15 6 720 {3,3,3,3} n An An [3n−1] ... n(n + 1)/2 n + 1 (n + 1)! n-símplex 2 B2 C2 4 4 8 {4}3 B3 C3 [4,3] 9 6 48 {4,3} / {3,4} 4 B4 C4 [4,3,3] 16 8 384 -{4,3,3} / {3,3,4} 5 B5 C5 [4,3,3,3] 25 10 3840 {4,3,3,3} / {3,3,3,4} n Bn Cn [4,3n−2] ... n2 2n 2n n! n-cubo / n-ortoplex 4 D4 B4 [31,1,1] 12 6 192 h{4,3,3} / {3,31,1}5 D5 B5 [32,1,1] 20 8 1920 h{4,3,3,3} / {3,3,31,1}n Dn Bn [3n−3,1,1] ... n(n − 1) 2(n − 1) 2n−1 n! n-demicubo / n-ortoplex6 E6E6 [32,2,1] 36 12 51840 (72x6!) 221, 122 7 E7E7 [33,2,1] 63 18 2903040 (72x8!) 321, 231, 132 8 E8 E8 [34,2,1] 120 30 696729600 (192x10!) 421, 241, 142 4 F4F4 [3,4,3] 24 12 1152 {3,4,3} 2 G2 – (D) 6 6 12 {6} 2 H2 G2 5 5 10 {5} 3 H3 G3 [3,5] 15 10 120 {3,5} / {5,3} 4 H4 G4 [3,3,5] 60 30 14400 {5,3,3} / {3,3,5} 2 I2(n) D [n] n n 2n when n = pk + 1, p prime when n = pk − 1, p prime {p}
Grupos de simetría de politopos regulares Todos los grupos de simetría de politopos regulares son grupos de Coxeter finitos. Téngase en cuenta que los poliedros conjugados tienen el mismo grupo de simetría.
Hay tres series de politopos regulares en todas las dimensiones. El grupo de simetría de un n:símplex regular es el grupo simétrico Sn+1, también conocido como el grupo de Coxeter del tipo An. El grupo de simetría del n-cubo y su dual, n-politopo de cruce, es Bn, y se conoce como grupo hiperoctaedral.
Los politopos regulares excepcionales en las dimensiones dos, tres y cuatro corresponden a otros grupos de Coxeter. En dos dimensiones, los grupos diedrales, que son los grupos de simetría de los polígonos regulares, forman la serie I2(p). En tres dimensiones, el grupo de simetría del dodecaedro regular y su dual, el icosaedro regular, es H3, conocido como el grupo icosaedral completo. En cuatro dimensiones, hay tres politopos regulares especiales, el icositetracoron, el hecatonicosacoron y el hexacosicoron. El primero tiene un grupo de simetría F4, mientras que los otros dos son duales y tienen un grupo de simetría H4.
Los grupos de Coxeter del tipo Dn, E6, E7 y E8 son los grupos de simetría de ciertos politopos semiregulares.
Grupos afines de Coxeter