En matemáticas, la ecuación característica (o ecuación auxiliar) es una ecuación algebraica de grado de la que depende la solución de una ecuación diferencial de orden n o de una secuencia lineal recurrente dada. La ecuación característica solo se puede formar cuando la ecuación diferencial o de diferencia es lineal y homogénea, y tiene coeficientes constantes. En tal ecuación diferencial, denota la variable dependiente, el superíndice denota la n-ésima derivada, y son constantes:

y tendrá una ecuación característica de la forma

cuyas soluciones son las raíces a partir de las cuales se puede formar la solución general. Análogamente, una ecuación de diferencia lineal de la forma

tiene una ecuación característica

discutido con más detalle en el caso homogéneo de una secuencia lineal recurrente.

Las raíces características (raíces de la ecuación característica) también proporcionan información cualitativa sobre el comportamiento de la variable cuya evolución se describe mediante la ecuación dinámica. Para una ecuación diferencial parametrizada en el tiempo, la evolución de la variable es estable si y solo si la parte real de cada raíz es negativa. Para las ecuaciones de diferencia, hay estabilidad si y solo si el módulo (valor absoluto) de cada raíz es menor que 1. Para ambos tipos de ecuaciones, se producen fluctuaciones persistentes si hay al menos un par de raíces complejas.

El método de integración lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes fue descubierto por Leonhard Euler, que encontró que las soluciones dependían de una ecuación algebraica 'característica'. Las cualidades de la ecuación característica de Euler fueron consideradas más tarde por los matemáticos franceses Augustin-Louis Cauchy y Gaspard Monge.

Derivación Comenzando con una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes ,

se puede ver que si , cada término sería un múltiplo constante de . Esto resulta del hecho de que la derivada de la función exponencial es un múltiplo de sí misma. Por lo tanto, , , y son todos múltiplos. Esto sugiere que ciertos valores de permitirán que los múltiplos de sumen cero, resolviendo así la ecuación diferencial homogénea. Para resolver , se puede sustituir y sus derivadas en la ecuación diferencial para obtener

Como nunca puede ser igual a cero, puede dividirse, dando la ecuación característica

Al resolver las raíces en esta ecuación característica, se puede encontrar la solución general a la ecuación diferencial. Por ejemplo, si se encuentra que es igual a 3, entonces la solución general será , donde es una constante arbitraria.

Formación de la solución general Resolver la ecuación característica para sus raíces, , permite encontrar la solución general de la ecuación diferencial. Las raíces pueden ser reales o complejas, así como distintas o repetidas. Si una ecuación característica tiene partes con raíces reales distintas, raíces repetidas o raíces complejas correspondientes a soluciones generales de , e , respectivamente, entonces la solución general a la ecuación diferencial es

Ejemplo La ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes

tiene la ecuación característica

Al factorizar la ecuación característica en

se puede ver que las soluciones para son la raíz única distinta y las raíces complejas dobles . Esto corresponde a la solución general de valor real

con constantes .

Distintas raíces reales El principio de superposición para ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes dice que si son soluciones linealmente independientes para una ecuación diferencial particular, entonces es también una solución para todos los valores . Por lo tanto, si la ecuación característica tiene raíces reales distintas , entonces una solución general será de la forma

Raíces reales repetidas Si la ecuación característica tiene una raíz que se repite veces, entonces está claro que es al menos una solución. Sin embargo, esta solución carece de soluciones linealmente independientes de las otras raíces . Como tiene multiplicidad , la ecuación diferencial se puede factorizar en

.

El hecho de que sea una solución permite suponer que la solución general puede tener la forma , donde es una función a determinar. Sustituyendo se obtiene

cuando . Al aplicar este hecho veces, se deduce que

Al dividir , se puede ver que

Sin embargo, este es el caso si y solo si es un polinomio de grado , de modo que . Como , la parte de la solución general correspondiente a es

Raíces complejas Si una ecuación diferencial de segundo orden tiene una ecuación característica con raíces conjugadas complejas de la forma y , entonces la solución general es en consecuencia . Según la fórmula de Euler, que establece que , esta solución se puede reescribir de la siguiente manera:

donde y son constantes que pueden ser no reales y que dependen de las condiciones iniciales. De hecho, dado que es real, debe ser imaginario o cero, y debe ser real, para que ambos términos después del último signo de igualdad sean reales.

Por ejemplo, si entonces se forma la solución particular . Del mismo modo, si y entonces la solución independiente formada es . Por lo tanto, según el principio de superposición para ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes, una ecuación diferencial de segundo orden que tenga raíces complejas dará como resultado la siguiente solución general:

Este análisis también se aplica a las partes de las soluciones de una ecuación diferencial de orden superior cuya ecuación característica involucra raíces conjugadas complejas no reales.

Véase también Polinomio característico

Referencias

Categoría:Ecuaciones diferenciales ordinarias