derecha|mini|En 1899, las investigaciones de Henri Poincaré sobre la multiplicación sobre grupos en términos algebraicos de Lie lo llevaron a la formulación del álgebra envolvente universal
En la teoría de los grupos de Lie, la aplicación exponencial es una correspondencia del álgebra de Lie de un grupo de Lie sobre . En el caso de que sea un grupo de Lie matricial, la aplicación exponencial se reduce a la matriz exponencial. La aplicación exponencial, denotada , es analítica y tiene como derivada , donde es una ruta en el álgebra de Lie, y un diferencial estrechamente relacionado . Appendix on analytic functions.
La fórmula para obtener fue probada por primera vez por Friedrich Schur (1891). Más tarde fue elaborada por Henri Poincaré (1899) en el contexto del problema de expresar la multiplicación de grupos de Lie usando términos algebraicos de Lie. También se conoce a veces como la fórmula de Duhamel.
La fórmula es importante tanto en matemática pura como aplicada. Entra en pruebas de teoremas como la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff, y se usa con frecuencia en física, tanto en la teoría de campos cuánticos, como en la expansión de Magnus en la teoría de perturbaciones y en la teoría de calibre de retículas.
En todo momento, las notaciones y se usarán indistintamente para denotar el exponencial dado un argumento, excepto cuando, como se señaló, las notaciones tienen significados distintos. Aquí se prefiere la notación utilizada en el cálculo para una mejor legibilidad de las ecuaciones. Por otro lado, el estilo es a veces más conveniente para las ecuaciones en línea, y es necesario en las raras ocasiones en las que hay que hacer una distinción real.
Declaración La derivada de la aplicación exponencial está dada por Theorem 5 Section 1.2
Explicación
es un camino (continuamente diferenciable) en el álgebra de Lie con derivada . El argumento se omite donde no es necesario. es la transformación lineal del álgebra de Lie dada por . Es la acción contigua de un álgebra de Lie sobre sí misma. La fracción viene dada por la serie de potencias
derivada de la serie de potencias de la aplicación exponencial de un endomorfismo lineal, como en la exponenciación matricial. Theorem 5 Section 1.2
Cuando es un grupo de Lie matricial, todas las ocurrencias de la exponencial están dadas por su expansión en serie de potencias. Cuando no es un grupo de Lie matricial, todavía puede expresarse por su serie de potencias , mientras que las otras dos apariciones de en la fórmula, que se corresponden con la aplicación exponencial en la teoría de Lie, referida al flujo de un tiempo del campo vectorial invariante izquierdo , es decir, elemento del álgebra de Lie como se define en el caso general, en el grupo de Lie visto como una variedad analítica. Esto todavía equivale exactamente a la misma fórmula que en el caso de la matriz. La fórmula se aplica al caso donde se considera como una aplicación en el espacio de la matriz sobre o (véase matriz exponencial). Cuando o , las nociones coinciden exactamente.
Para calcular el diferencial de en , , empleando la fórmula estándar Appendix on analytic functions.
Con el resultado Theorem 5 Section 1.2
se sigue inmediatamente de . En particular, es la identidad porque (ya que es un espacio vectorial) y .
Demostración La prueba dada a continuación asume un grupo de Lie matricial. Esto significa que la aplicación exponencial del álgebra de Lie al grupo de Lie matricial está dado por la serie de potencias habitual, es decir, la exponenciación de la matriz. La conclusión de la prueba aún se mantiene en el caso general, siempre que cada aparición de se interprete correctamente. Véanse los comentarios sobre el caso general que figuran más adelante.
El esquema de la demostración hace uso de la técnica de diferenciación con respecto a de la expresión parametrizada
para obtener una ecuación diferencial de primer orden para que luego se puede resolver mediante la integración directa en . La solución es entonces .
Lema Sea la representación adjunta del grupo respecto a su álgebra de Lie. La acción está dada por para . Una relación habitualmente utilizada entre Ad y ad se expresa como Proposition 3.35Una prueba de la identidad puede encontrarse aquí. La relación es simplemente la que existe entre una representación de un grupo de Lie y su álgebra de Lie según la correspondencia de Lie, dado que tanto como son representaciones con .
Demostración Usando la regla del producto dos veces, se obtiene que
Entonces se observa que
según se expresa en . Integrando, se obtiene
Usando la serie de potencias formal para expandir la exponencial, integrando término por término y finalmente reconociendo ,
de lo que se obtiene el resultado. La prueba, como se presenta aquí, es esencialmente la que se da en . Una prueba con un carácter más algebraico se puede encontrar en .Véase también , donde se incluye la demostración de Hall.
Comentarios sobre el caso general La fórmula en el caso general viene dada por This is equation (1.11).
dondeEsto permite sostener quepara |z - 1| < 1 donde Aquí, es la función exponencial generadora de donde son números de Bernoulli.
que se reduce formalmente a
Aquí la notación se usa para la aplicación exponencial del álgebra de Lie y la notación de cálculo en la fracción indica la expansión formal en serie habitual. Para obtener más información y dos pruebas completas en el caso general, consúltese la referencia de disponible gratuitamente.
Aplicaciones
Comportamiento local de la aplicación exponencial El teorema de la función inversa junto con la derivada de la aplicación exponencial proporciona información sobre el comportamiento local de . Cualquier que aplica entre espacios vectoriales (considerando primero los grupos de Lie matriciales) tiene un inverso de tal que es una biyección de en un conjunto abierto alrededor de un punto en el dominio proporcionado que es invertible. De se deduce que esto sucederá precisamente cuando
es invertible. Esto, a su vez, ocurre cuando los valores propios de este operador son todos distintos de cero. Los valores propios de están relacionados con los de de la siguiente manera. Si es una función analítica de una variable compleja expresada mediante una serie de potencias tal que para una matriz converge, entonces los valores propios de serán (donde son los valores propios de , el subíndice doble se aclara a continuación).Esto se ve eligiendo una base para el espacio vectorial subyacente de modo que sea triangular, siendo los valores propios los elementos diagonales. Entonces es triangular con elementos diagonales . Se deduce que los valores propios de son . Véase , Lema 6 en la sección 1.2. En el presente caso con y , los valores propios de son
donde son los valores propios de . Poniendo se ve que es invertible precisamente cuando
Los valores propios de están, a su vez, relacionados con los de . Sean los valores propios de . Fijada una base ordenada del espacio vectorial subyacente de manera que sea triangular inferior, entonces
con los términos restantes múltiplos de con . Sea la base correspondiente para el espacio matricial, es decir . Ordénese esta base de manera que si . Se verifica que la acción de viene dada por
con los términos restantes múltiplos de . Esto significa que es triangular inferior con sus valores propios en la diagonal. La conclusión es que es invertible, por lo tanto, es una biyección bianalítica local alrededor de , cuando los valores propios de satisfacen que Proposition 7, section 1.2.Las matrices cuyos valores propios satisfacen están, bajo la exponencial, en biyección con matrices cuyos valores propios no están en la línea real negativa o cero. y están relacionados por la exponencial compleja. Véase Observación 2c sección 1.2.
En particular, en el caso de los grupos de Lie matriciales, se deduce, dado que es invertible, por el teorema de la función inversa, que es una biyección bi-analítica en una vecindad de en el espacio matricial. Además, , es una biyección bi-analítica de una vecindad de en a una vecindad de . Corollary 3.44. La misma conclusión es válida para los grupos de Lie generales que utilizan la versión múltiple del teorema de la función inversa.
También se desprende del teorema de la función implícita que la propia es invertible para suficientemente pequeño. Section 1.6.
Deducción de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff Si se define de modo que
una expresión para , la fórmula BCH, se puede deducir de la fórmula anterior,
Es fácil ver que su lado izquierdo es igual a Y. Así,
y por lo tanto, formalmente,Section 5.5. Section 1.2.
Sin embargo, utilizando la relación entre y dada por , es sencillo ver que
y por lo tanto
Poniendo esto en la forma de una integral en t entre 0 y 1, se obtiene
una fórmula integral para que es más manejable en la práctica que la fórmula explícita de serie de Dynkin, debido a la simplicidad de la expansión de la serie de . Téngase en cuenta que esta expresión consiste en y sus conmutadores anidados con o . Una prueba en este sentido se puede encontrar en los libros de texto de y .
Deducción de la fórmula en serie de Dynkin derecha|mini|Eugene Dynkin en su casa, en 2003. En 1947, Dynkin probó la fórmula explícita de la serie BCH. Poincaré, Baker, Campbell y Hausdorff se preocuparon principalmente por la existencia de una serie de corchetes, que es suficiente en muchas aplicaciones, por ejemplo, para probar resultados centrales en la correspondencia de Lie. Chapter 2. Chapter 5. (Foto cortesía de la Colección Dynkin)
La fórmula de Dynkin mencionada también puede derivarse de manera análoga, comenzando por la extensión paramétrica
de donde
para que, usando la fórmula general anterior,
Como, sin embargo,
el último paso en virtud de la expansión de la serie de Mercator, se deduce que
y, por lo tanto, integrando,
En este punto es evidente que la afirmación cualitativa de la fórmula BCH es válida, a saber, que se encuentra en el álgebra de Lie generada por y se puede expresar como una serie entre paréntesis repetidos . Para cada , los términos de cada partición de los mismos se organizan dentro de la integral . La fórmula de Dynkin resultante es entonces Para una prueba similar con expansiones de series detalladas, véase . Para obtener detalles completos, haga clic en "Mostrar" a continuación.
Véase también
Representación adjunta (ad) Representación adjunta (Ad) Fórmula Baker-Campbell-Hausdorff Mapa exponencial Matriz exponencial Logaritmo matricial Expansión de Magnus
Notas
Referencias
Bibliografía
Veltman, M, 't Hooft, G & de Wit, B (2007). "Grupos de mentiras en física", conferencias en línea.
Enlaces externos
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