derecha|miniaturadeimagen|200x200px|Un heptágono regular (con lados rojos), sus diagonales más largas (verdes), y sus diagonales más cortas (azules). Cada uno de los catorce triángulos heptagonales congruentes tiene un lado verde, un lado azul, y un lado rojo. Un triángulo heptagonal es un triángulo escaleno obtuso cuyos vértices coinciden con el primer, segundo y cuarto vértices de un heptágono regular (desde un vértice inicial arbitrario). Por lo tanto, sus tres lados coinciden con un lado y con las diagonales adyacentes más cortas y más largas de un heptágono regular. Todos los triángulos heptagonales son similares (tienen la misma forma), por lo que se conocen colectivamente como el triángulo heptagonal. Sus ángulos miden y y es el único triángulo con ángulos en las relaciones 1: 2: 4. El triángulo heptagonal tiene varias propiedades notables.
Puntos clave El centro de nueve puntos del triángulo heptagonal es también su primer punto de Brocard.Paul Yiu, "Heptagonal Triangles and Their Companions", Forum Geometricorum 9, 2009, 125–148. http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200912.pdf
El segundo punto de Brocard se encuentra en el círculo de nueve puntos.Leon Bankoff and Jack Garfunkel, "The heptagonal triangle", Mathematics Magazine 46 (1), January 1973, 7–19.
El circuncentro y los puntos de Fermat de un triángulo heptagonal forman un triángulo equilátero.Paul Yiu, "Heptagonal Triangles and Their Companions", Forum Geometricorum 9, 2009, 125–148. http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200912.pdf
La distancia entre el circuncentro O y el ortocentro H viene dada porLeon Bankoff and Jack Garfunkel, "The heptagonal triangle", Mathematics Magazine 46 (1), January 1973, 7–19.
donde R es el circunradio. La distancia al cuadrado desde el incentro I al ortocentro esLeon Bankoff and Jack Garfunkel, "The heptagonal triangle", Mathematics Magazine 46 (1), January 1973, 7–19.
donde r es el inradio.
Las dos tangentes desde el ortocentro hasta el circuncírculo son mutuamente perpendiculares.Leon Bankoff and Jack Garfunkel, "The heptagonal triangle", Mathematics Magazine 46 (1), January 1973, 7–19.
Relaciones de distancias
Lados Los lados del triángulo heptagonal a < b < c coinciden respectivamente con el lado del heptágono regular, diagonal más corta y diagonal más larga. Satisfacen queAbdilkadir Altintas, "Some Collinearities in the Heptagonal Triangle", Forum Geometricorum 16, 2016, 249–256.http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201630.pdf
(la últimaLeon Bankoff and Jack Garfunkel, "The heptagonal triangle", Mathematics Magazine 46 (1), January 1973, 7–19. es la ecuación óptica) y por lo tanto
yAbdilkadir Altintas, "Some Collinearities in the Heptagonal Triangle", Forum Geometricorum 16, 2016, 249–256.http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201630.pdf
Por lo tanto, -b/c, c/a y a/b satisfacen la ecuación cúbica
La relación entre los lados es
y las raíces de esta ecuación son:
También se tiene queWang, Kai. “Heptagonal Triangle and Trigonometric Identities”, Forum Geometricorum 19, 2019, 29–38.
satisface la ecuación cúbica
y las raíces de esta ecuación son:
También se tiene queWang, Kai. “Heptagonal Triangle and Trigonometric Identities”, Forum Geometricorum 19, 2019, 29–38.
satisface la ecuación cúbica
y las raíces de esta ecuación son:
Así mismo, los valoresWang, Kai. “Heptagonal Triangle and Trigonometric Identities”, Forum Geometricorum 19, 2019, 29–38.
satisfacen la ecuación cúbica
y las raíces de esta ecuación son:
También se tiene queLeon Bankoff and Jack Garfunkel, "The heptagonal triangle", Mathematics Magazine 46 (1), January 1973, 7–19.
yLeon Bankoff and Jack Garfunkel, "The heptagonal triangle", Mathematics Magazine 46 (1), January 1973, 7–19.
Por otro ladoWang, Kai. “Heptagonal Triangle and Trigonometric Identities”, Forum Geometricorum 19, 2019, 29–38.
No hay otro par de números (m, n), tales que m, n > 0 y que m, n <2000, que cumplan
Alturas Las alturas ha, hb y hc satisfacen
Leon Bankoff and Jack Garfunkel, "The heptagonal triangle", Mathematics Magazine 46 (1), January 1973, 7–19.
y
Leon Bankoff and Jack Garfunkel, "The heptagonal triangle", Mathematics Magazine 46 (1), January 1973, 7–19.
La altura desde el lado b (ángulo opuesto B) es la mitad de la bisectriz del ángulo interno de A:Leon Bankoff and Jack Garfunkel, "The heptagonal triangle", Mathematics Magazine 46 (1), January 1973, 7–19.
Aquí el ángulo A es el ángulo más pequeño y B es el segundo ángulo más pequeño.
Bisectrices Se tienen las siguientes propiedades de las bisectrices y de los ángulos A, B y C respectivamente:Leon Bankoff and Jack Garfunkel, "The heptagonal triangle", Mathematics Magazine 46 (1), January 1973, 7–19.
Circunradio, inradio y exinradios El área del triángulo esWeisstein, Eric W. "Heptagonal Triangle." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HeptagonalTriangle.html
donde R es el circunradio del triángulo.
Se tiene queLeon Bankoff and Jack Garfunkel, "The heptagonal triangle", Mathematics Magazine 46 (1), January 1973, 7–19.
También se tiene queWang, Kai. https://www.researchgate.net/publication/327825153_Trigonometric_Properties_For_Heptagonal_Triangle
La relación del inradio respecto al circunradio es la solución positiva de la ecuación cúbicaWeisstein, Eric W. "Heptagonal Triangle." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HeptagonalTriangle.html
siendo las otras dos raíces de esta ecuación y .
La relación de la suma de los exinradios respecto al circunradio es la mayor de las raíces de la ecuación cúbica:
siendo las otras dos raíces de esta ecuación y .
La relación de la suma de los inversos de los exinradios respecto al circunradio es la única raíz positiva de la ecuación cúbica:
siendo las otras dos raíces de esta ecuación y .
Además,Leon Bankoff and Jack Garfunkel, "The heptagonal triangle", Mathematics Magazine 46 (1), January 1973, 7–19.
También se tiene queWang, Kai. https://www.researchgate.net/publication/327825153_Trigonometric_Properties_For_Heptagonal_Triangle
En general para todos los enteros n,
donde
y
Así mismoWang, Kai. https://www.researchgate.net/publication/327825153_Trigonometric_Properties_For_Heptagonal_Triangle
También se tiene queWang, Kai. “Heptagonal Triangle and Trigonometric Identities”, Forum Geometricorum 19, 2019, 29–38.
El exradio ra correspondiente al lado a es igual al radio de la circunferencia de los nueve puntos del triángulo heptagonal.Leon Bankoff and Jack Garfunkel, "The heptagonal triangle", Mathematics Magazine 46 (1), January 1973, 7–19.
Triángulo órtico El triángulo órtico del triángulo heptagonal, con vértices en los pies de las alturas, es similar al triángulo heptagonal, con una relación de similitud de 1: 2. El triángulo heptagonal es el único triángulo obtuso que es similar a su triángulo órtico (el triángulo equilátero es el único agudo con esta propiedad).Leon Bankoff and Jack Garfunkel, "The heptagonal triangle", Mathematics Magazine 46 (1), January 1973, 7–19.
Propiedades trigonométricas Las diversas identidades trigonométricas asociadas con el triángulo heptagonal incluyen:Leon Bankoff and Jack Garfunkel, "The heptagonal triangle", Mathematics Magazine 46 (1), January 1973, 7–19. Weisstein, Eric W. "Heptagonal Triangle." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HeptagonalTriangle.html
Wang, Kai. “Heptagonal Triangle and Trigonometric Identities”, Forum Geometricorum 19, 2019, 29–38.
La ecuación cúbica
tiene solucionesLeon Bankoff and Jack Garfunkel, "The heptagonal triangle", Mathematics Magazine 46 (1), January 1973, 7–19. y que son los senos al cuadrado de los ángulos del triángulo.
La solución positiva de la ecuación cúbica
es igual que es el doble del coseno de uno de los ángulos del triángulo.
Sen (2π/7), sen (4π/7) y sen (8π/7) son las raíces deWang, Kai. “Heptagonal Triangle and Trigonometric Identities”, Forum Geometricorum 19, 2019, 29–38.
También se tiene que:Wang, Kai. https://www.researchgate.net/publication/327825153_Trigonometric_Properties_For_Heptagonal_Triangle
Para un entero n, sea
Para n = 0, ..., 20,
Para n = 0, -1,, ..-20,
Para cualquier entero n
Para n = 0, 1, ... 10,
Para un entero n, sea
Para n = 0, 1, ... 10,
También se tiene queWang, Kai. https://www.researchgate.net/publication/327825153_Trigonometric_Properties_For_Heptagonal_TriangleVictor H. Moll, An elementary trigonometric equation, https://arxiv.org/abs/0709.3755, 2007
Así mismoWang, Kai. “Heptagonal Triangle and Trigonometric Identities”, Forum Geometricorum 19, 2019, 29–38.
También se tiene queWang, Kai. “Heptagonal Triangle and Trigonometric Identities”, Forum Geometricorum 19, 2019, 29–38.
También se tiene queKai Wang, https://www.researchgate.net/publication/336813631_Topics_of_Ramanujan_type_identities_for_PI7
También se cumplen identidades de tipo Ramanujan,Roman Witula and Damian Slota, New Ramanujan-Type Formulas and Quasi-Fibonacci Numbers of Order 7, Journal of Integer Sequences, Vol. 10 (2007).
También se tiene queKai Wang, https://www.researchgate.net/publication/336813631_Topics_of_Ramanujan_type_identities_for_PI7
Referencias
Categoría:Triángulos Categoría:Tipos de triángulos