mini| Portada del Logarithmorum de John Napier (1620)
La historia de los logaritmos es el relato de cómo se desarrolló la correspondencia (en términos modernos, el isomorfismo grupal) existente entre la multiplicación de los números reales positivos y su suma sobre la recta real, que se formalizó en la Europa del y que se utilizó ampliamente para simplificar el cálculo hasta la popularización de las calculadoras digitales. La idea de los logaritmos neperianos se publicó por primera vez en 1614, y Henry Briggs introdujo poco después los logaritmos comunes (de base 10), que eran más fáciles de usar. Las tablas de logaritmos se publicaron en muchas formas durante cuatro siglos. La idea de los logaritmos también se usó para construir la regla de cálculo, que se hizo omnipresente en ciencia e ingeniería hasta la década de 1970. Un avance que generó el logaritmo natural fue el hallazgo de una expresión para el área cubierta por una hipérbola equilátera, lo que a su vez requirió idear una nueva función matemática con múltiples aplicaciones.
Logaritmo común mini| Canon logarithmorum
Así como el logaritmo común de diez es uno, el de cien es dos y el de mil es tres, el concepto de logaritmos comunes está muy cerca del sistema numérico de posición decimal. Se dice que el registro común tiene una base 10, pero la base 10.000 también es muy antigua, y sigue siendo común en el este de Asia. En su libro El Arenario, Arquímedes utilizó la miríada como la base de un sistema numérico diseñado para contar los granos de arena que podría contener el universo. Como se observó en 2000:Ian Bruce (2000) "Napier’s Logarithms", American Journal of Physics 68(2):148
En 1616 Henry Briggs visitó a Napier en Edimburgo para discutir el cambio sugerido en los logaritmos de Napier. Al año siguiente, volvió a visitarlo con un propósito similar. Durante estas reuniones, se acordó la modificación propuesta por Briggs, y a su regreso de su segunda visita a Edimburgo, en 1617, publicó sus primeros mil logaritmos.
En 1624 Briggs publicó su Arithmetica Logarithmica, en formato folio, una obra que contiene los logaritmos de treinta mil números naturales con catorce decimales (de 1 a 20.000; y de 90.001 a 100.000). Posteriormente, Adriaan Vlacq amplió esta tabla, pero a 10 lugares, y Alexander John Thompson la completó con 20 lugares en 1952.
Briggs fue uno de los primeros en utilizar métodos de diferencias finitas para calcular tablas de funciones. También completó una tabla de senos y tangentes logarítmicos para la centésima parte de cada grado con catorce decimales, incluyendo una tabla de senos naturales con quince cifras y las tangentes y secantes con diez. Todas estas tablas fueron impresas en Gouda en 1631, publicándose en 1633 bajo el título de Trigonometria Britannica. Este trabajo fue probablemente el sucesor de su Logarithmorum Chilias Prima de 1617 ("Los primeros mil logaritmos"), en el que se daba una breve descripción de los logaritmos y una larga tabla de los primeros 1000 enteros calculados con el decimocuarto lugar decimal.
Logaritmo natural mini| Opus geometricum posthumum, 1668
En 1649, Alfonso Antonio de Sarasa, un exalumno de Grégoire de Saint-Vincent,En 1647, Gregoire de Saint-Vincent publicó su libro, "Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni" (Trabajo geométrico de cuadrar el círculo y las secciones cónicas), vol. 2 (Amberes, (Bélgica): Johannes y Jakob Meursius, 1647). En la página 586, Proposición CIX, demuestra que si las abscisas de los puntos están en proporción geométrica, entonces las áreas entre una hipérbola y las abscisas están en proporción aritmética. Este hallazgo permitió al antiguo alumno de Saint-Vincent, Alphonse Antonio de Sarasa, demostrar que el área entre una hipérbola y la abscisa de un punto es proporcional al logaritmo de la abscisa, uniendo así el álgebra de logaritmos con la geometría de la hipérbola. Véase: Alphonse Antonio de Sarasa, Solutio problematis a R.P. Marino Mersenne Minimo propositi ... [Solución a un problema propuesto por el reverendo padre Marin Mersenne, miembro de la orden Minim ... ], (Antwerp, (Belgium): Johannes and Jakob Meursius, 1649). El hallazgo crítico de Sarasa ocurre en page 16 (cerca del final de la página), donde dice: "Unde hae superficies supplere possunt locum logarithmorum datorum ... " (De donde estas áreas pueden llenar el lugar de los logaritmos dados ... ). [En otras palabras, las áreas son proporcionales a los logaritmos.]Véase también: Enrique A. González-Velasco, Journey through Mathematics: Creative Episodes in Its History (New York, New York: Springer, 2011), page 118. relacionó los logaritmos con la cuadratura de la hipérbola, señalando que el área A(t) debajo de la hipérbola desde hasta , satisfaceAlfonso Antonio de Sarasa, Solutio problematis a R.P. Marino Mersenne Minimo propositi ... [Solución a un problema propuesto por el reverendo padre Marin Mersenne, miembro de la orden de los Mínimos ... ], (Amberes, (Bélgica): Johannes and Jakob Meursius, 1649). Sarasa se dio cuenta de que dada una hipérbola y un par de puntos a lo largo de la abscisa que estaban relacionados por una progresión geométrica, entonces si las abscisas de los puntos se multiplicaban, la abscisa de su producto tenía un área debajo de la hipérbola que equivalía a la suma de áreas de puntos debajo de la hipérbola. Es decir, el logaritmo de una abscisa era proporcional al área, debajo de una hipérbola, correspondiente a esa abscisa. Este hallazgo unió el álgebra de los logaritmos con la geometría de las curvas hiperbólicas.
El logaritmo natural fue descrito por primera vez por Nicholas Mercator en su trabajo Logarithmotechnia, publicado en 1668, aunque el profesor de matemáticas John Speidell ya había compilado en 1619 una tabla de lo que efectivamente eran logaritmos naturales, basados en el trabajo de Napier., p. 152
El historiador Tom Whiteside describió la transición a la función analítica de la siguiente manera:Derek Thomas Whiteside (1961) "Patterns of mathematical thought in the later seventeenth century", Archive for History of Exact Sciences 1(3):179–388, § III.1 The logarithm as a type-function pp 214–231, quote p 231
Leonard Euler trataba los logaritmos como los exponentes de cierto número, llamado la base del logaritmo. Observó que el número 2.71828, y su recíproco, proporcionaban un punto en la hipérbola xy = 1 de modo que un área de una unidad cuadrada se encuentra debajo de la hipérbola, a la derecha de (1,1) y por encima de la asíntota de la hipérbola. Luego llamó al logaritmo, con este número como base, el logaritmo natural.
Como señaló Howard Eves, "Una de las anomalías en la historia de las matemáticas es el hecho de que los logaritmos se descubrieran antes de que se utilizaran los exponentes".H. Eves (1976) Introduction to the History of Mathematics, 4th edition, page 250, Holt, Reinhart & Winston Carl B. Boyer escribió: "Euler fue uno de los primeros en tratar los logaritmos como exponentes, de la manera que ahora nos resulta tan familiar".C.B. Boyer & Uta C. Merzbach (1989) A History of Mathematics, 2nd edition, page 496 John Wiley & Sons
Pioneros de los logaritmos
Antecesores Los babilonios en algún momento entre los años 2000 y 1600 a. C. pudieron haber inventado el algoritmo de multiplicación de un cuarto cuadrado para multiplicar dos números usando solo sumas, restas y una tabla de cuartos cuadrados. Por lo tanto, una tabla de este tipo tenía un propósito similar a las tablas de logaritmos, que también permiten calcular la multiplicación mediante búsquedas en una tabla y sumas. Sin embargo, el método del cuarto cuadrado no podría usarse para la división sin una tabla adicional de recíprocos (o el conocimiento de un algoritmo suficientemente simple para generar recíprocos). Se usaron tablas grandes de cuartos cuadrados para simplificar la multiplicación precisa de números grandes desde 1817 en adelante, hasta que resultaron relegados por el uso de computadoras.
El matemático indio Virasena trabajó con el concepto de ardhaccheda: el número de veces que un número de la forma 2n podría reducirse a la mitad. Para potencias exactas de 2, esto es igual al logaritmo binario, pero difiere del logaritmo para otros números y proporciona orden 2-ádico en lugar del logaritmo.See, e.g., .
Michael Stifel publicó Arithmetica integra en Núremberg en 1544, que contiene una tabla de enteros y potencias de 2 que se ha considerado una versión temprana de una tabla de logaritmos binarios.
En el y principios del , se utilizó un algoritmo llamado prosthaphaeresis para aproximar la multiplicación y la división, para lo que se utilizaban identidades trigonométricas:
convirtiendo las multiplicaciones en adiciones y búsquedas en tablas. Sin embargo, los logaritmos son más directos y requieren menos trabajo. Se puede demostrar usando la fórmula de Euler que las dos técnicas están relacionadas.
Bürgi El matemático suizo Jost Bürgi construyó una tabla de progresiones que puede considerarse una tabla de antilogaritmosJost Bürgi, Arithmetische und Geometrische Progress Tabulen … [Arithmetic and Geometric Progression Tables … ], (Prague, (Czech Republic): University [of Prague] Press, 1620). Available on-line at: Bavarian State Library, Germany Unfortunately, Bürgi did not include, with his table, instructions for using the table. Neither the table nor the instructions were published, apparently only proof sheets of the table were printed. The contents of the instructions were reproduced in: Hermann Robert Gieswald, Justus Byrg als Mathematiker, und dessen Einleitung zu seinen Logarithmen [Justus Byrg as a mathematician, and an introduction to his logarithms] (Danzig, Prussia: St. Johannisschule, 1856), pages 26 ff. independientemente de John Napier, cuya difusión (en 1614) era conocida cuando Bürgi publicó sus propias tablas a instancias de Johannes Kepler. Se sabe que Bürgi tenía alguna forma de simplificar los cálculos alrededor de 1588, pero lo más probable es que este fuera el uso de la prosthaphaeresis, y no el uso de su tabla de progresiones que probablemente se remonta a alrededor de 1600. De hecho, Wittich, que estaba en Kassel desde 1584 hasta 1586, trajo consigo el conocimiento de la prosthaphaeresis, un método por el que las multiplicaciones y divisiones pueden ser reemplazadas por sumas y restas de valores trigonométricos. Este procedimiento logró lo mismo que los logaritmos conseguirían hacer unos años más tarde.
Napier alt=A baroque picture of a sitting man with a beard.|derecha|mini| John Napier (1550-1617), el inventor de los logaritmos
El método de los logaritmos fue propuesto públicamente por John Napier en 1614, en un libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Descripción de la maravillosa regla de los logaritmos).
Johannes Kepler, quien utilizó tablas de logaritmos ampliamente para compilar sus Efemérides, y que por lo tanto, incluyó una mención a Napier,, p. 44 comentó:
Mediante sustracciones repetidas, Napier calculó para L variando de 1 a 100. El resultado para L = 100 es aproximadamente 0.99999 = 1 − 10−5. Posteriormente calculó los productos de estos números con para L de 1 a 50, y lo hizo de manera similar con y . Estos cálculos, que llevaron 20 años de trabajo, le permitieron dar, para cualquier número N de 5 a 10 millones, el número L que resuelve la ecuación
Napier primero llamó a L un "número artificial", pero luego introdujo la palabra "logaritmo" para significar un número que indica una relación: (logos), que significa proporción, y (arithmos) que significa número. En la notación moderna, la relación con los logaritmos naturales es:
donde una aproximación muy cercana corresponde a la observación de que