Los procesos estocásticos de Gauss-Markov o cadenas de Gauss-markov (llamados así en honor a Carl Friedrich Gauss y Andréi Márkov) son procesos estocásticos que satisfacen los requisitos para ser considerados simultáneamente procesos gaussianos y cadenas de Márkov. Un proceso estacionario de Gauss-Márkov es único hasta reescalar; tal proceso es conocido también como proceso de Ornstein-Uhlenbeck.
Cada cadena de Gauss-Markov, X(t), posee las tres propiedades siguientes:C. B. Mehr & J. A. McFadden. Certain Properties of Gaussian Processes and Their First-Passage Times. Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological), Vol. 27, No. 3(1965), pp. 505-522 Si h(t) es una función escalar no nula de t, entonces Z(t) = h(t)X(t) también es una cadena de Gauss-Márkov Si f(t) es una función escalar no decreciente de t, entonces Z(t) = X(f(t)) también es una cadena de Gauss-Márkov Si el proceso es no degenerado y de cuadrado medio continuo, entonces existe una función escalar no nula h(t) y una función escalar estrictamente creciente f(t) tal que X(t) = h(t)W(f(t)), donde W(t) es el proceso de Wiener estándar.
La propiedad n.º 3 nos dice que todo proceso de Gauss-Márkov no degenerado y de cuadrado medio continuo puede ser sintetizado del proceso estándar de Wiener.
Propiedades de los procesos estacionarios de Gauss-Márkov
Un proceso estacionario de Gauss-Márkov con varianza y constante de tiempo tiene las siguientes propiedades:
Autocorrelación exponencial: .
Una función de potencias de densidad espectral que también tiene la misma forma que la distribución de Cauchy:
.
(Nótese que la distribución de Cauchy y este espectro difieren por factores escalares).
Lo anterior tiene la siguiente factorización espectral:
lo que es importante en un filtro de Wiener y en otras áreas.
También existen excepciones triviales para lo anterior.
Referencias
Categoría:Procesos de Markov