En matemáticas y física, la notación gráfica de Penrose o notación de diagrama tensorial es una forma de escribir (generalmente a mano) funciones multilineales o tensores propuesta por Roger Penrose en 1971.Roger Penrose, "Applications of negative dimensional tensors," in Combinatorial Mathematics and its Applications, Academic Press (1971). See Vladimir Turaev, Quantum invariants of knots and 3-manifolds (1994), De Gruyter, p. 71 for a brief commentary. Un diagrama en esta notación consiste en varias formas unidas entre sí por líneas. La notación ha sido estudiada extensivamente por Predrag Cvitanović, quien la usó para clasificar los grupos de Lie clásicos. También ha sido generalizada usando la teoría de representación para redes de espín en física.
Interpretaciones
Álgebra multilineal En el lenguaje del álgebra multilineal, cada forma representa una función multilineal. Las líneas que salen de estas formas representan las entradas y salidas de la función. De esta forma es posible representar la composición de funciones enlazando varias figuras entre sí.
Tensores En el lenguaje del álgebra tensorial, se asocia un tensor particular con una forma con varias líneas proyectadas hacia arriba y hacia abajo, correspondientes a las índices abstractos superiores e inferiores de los tensores respectivamente. Conectar estas líneas entre dos figuras corresponde con la contracción de índices. Una ventaja de esta notación es que no es necesario inventar nuevas letras para nuevos índices. Esta notación es explícitamente independiente de la base escogida.Roger Penrose, The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe, 2005, , Chapter Manifolds of n dimensions.
Matrices Cada figura representa una matriz, el producto tensorial se realiza horizontalmente y el producto matricial en vertical.
Representación de tensores especiales
La métrica La métrica se representa por un bucle con forma de U o su imagen invertida, dependiendo del tipo de tensor utilizado. marco|marco|
Tensor de Levi-Civita El tensor asimétrico de Levi-Civita se representa por una línea gruesa horizontal con pequeños segmentos que apuntan hacia arriba o hacia abajo dependiendo del tipo de tensor utilizado. marco|marco|marco|
Constante de estructura miniaturadeimagen|144x144px|constante de estructura Las constantes de estructura () de un álgebra de Lie se representan por pequeños triángulos con una línea vertical que sale del vértices superior dos líneas de los vértices inferiores hacia abajo.
Operaciones tensoriales
Contracción de índices LA contracción de índices se representa mediante la unión de los líneas de índice. miniaturadeimagen|120x120px|miniaturadeimagen|120x120px|miniaturadeimagen|257x257px|
Simetrización La simetrización de índices se representa mediante una línea gruesa quebrada o una barra ondulada cruzando las líneas de índice horizontalmente. miniaturadeimagen|242x242px|Simetrización (con )
Antisimetrización La antisimetrización de índices se representa mediante una línea gruesa que atraviesa las líneas de índice horizontalmente. miniaturadeimagen|205x205px|Antisimetrización (con )
Determinante El determinante se forma antisimetrizando los índices. miniaturadeimagen|386x386px| miniaturadeimagen|533x533px|Inversa de la matriz
Derivada covariante La derivada covariante () se representa por un círculo alrededor del tensor(es) que se quieren derivar y una línea desde el círculo descendente que representa el índice inferior de la derivada. marco|Derivada covariante
Manipulación tensorial La notación diagramática es útil en la manipulación del álgebra tensorial. Normalmente implica algunas «identidades» para manipulaciones tensoriales.
Un ejemplo de una identidad común es , donde n es el número de dimensiones.
Tensor de curvatura de Riemann Las identidades de Ricci y Bianchi dadas en términos del tensor de curvatura de Riemann ilustran el poder de esta notación miniaturadeimagen|120x120px| de Riemannminiaturadeimagen|120x120px|Tensor de Ricci miniaturadeimagen|156x156px|Identidad de Ricci miniaturadeimagen|138x138px|Identidad de Bianchi
Extensiones Esta notación ha sido ampliada para comprender espinores y twistores.
Véase también
Redes de espín Notación de índices abstracta
Notas
Categoría:Notación matemática Categoría:Física teórica Categoría:Cálculo tensorial