mini|400px|Elipsoide de Poinsot mini|Elipsoide de Poinsot (de color gris) y sus polhodas, y elipsoide de rotación (amarillo) mini|Trayectoria de un punto en el eje rojo alrededor del eje de momento angular (línea vertical) a lo largo de una loxodroma
En mecánica clásica, la construcción de Poinsot (en referencia al matemático francés Louis Poinsot) es un método geométrico para visualizar el movimiento de un cuerpo rígido giratorio no sometido a momentos de rotación, es decir, el movimiento de un cuerpo rígido sobre el cual no actúan fuerzas externas. Este movimiento tiene cuatro constantes: la energía cinética del cuerpo y las tres componentes del momento angular, expresadas con respecto a un sistema de referencia inercial.
El vector velocidad angular del cuerpo en rotación "no es constante", pero satisface las ecuaciones de Euler. Sin resolver explícitamente estas ecuaciones, Louis Poinsot pudo visualizar el movimiento del punto final del vector de la velocidad angular utilizando la conservación de la energía cinética y el momento angular como restricciones en la variación del vector de velocidad angular . Si el cuerpo rígido es simétrico (tiene dos momentos de inercia iguales), el vector describe un cono (y su punto final recorre un círculo). Este caso es conocido como el movimiento de precesión descrito por el eje de rotación de un sólido rígido, sin intervención de un par de fuerzas.
Restricción de la energía cinética angular La ley de conservación de la energía implica que, en ausencia de disipación de energía o de pares aplicados, la energía cinética angular se conserva, por lo que .
La energía cinética angular puede expresarse en términos del tensor de inercia y del vector de la velocidad angular
donde son las componentes del vector velocidad angular respecto a los ejes principales del sólido rígido, e son los momentos de inercia principales. Por lo tanto, la conservación de la energía cinética impone una restricción al vector tridimensional de la velocidad angular ; en el marco del eje principal, y debe estar contenido en un elipsoide, llamado elipsoide de inercia.
Los valores de los ejes del elipsoide son la mitad del momento de inercia. El camino trazado en este elipsoide por el vector de la velocidad angular se llama polhoda (término acuñado por Poinsot a partir de las raíces griegas para expresar "camino del polo") y es generalmente circular o en forma de círculo alabeado.
Restricción de momento angular La ley de conservación del momento angular establece que en ausencia de pares de fuerzas aplicados, el vector del momento angular se conserva en un sistema de referencia inercial, y entonces .
El vector del momento angular puede expresarse en términos del tensor del momento de inercia y del vector de velocidad angular
lo que lleva a la ecuación
Dado que el producto escalar de y es constante, y que en sí es constante, el vector de velocidad angular tiene una componente constante en la dirección del vector del momento angular . Esto impone una segunda restricción al vector ; en el espacio absoluto, debe estar en el plano invariable definido por su producto vectorial con el vector constante . El vector normal al plano invariable está alineado con . El camino trazado por el vector de la velocidad angular en el plano invariable se llama 'herpolhoda' (acuñado a partir de las raíces griegas para expresar "camino del polo serpenteante").
La herpolhoda es generalmente una curva abierta, lo que significa que la rotación no se repite perfectamente, pero la polhoda es una curva cerrada (véase más adelante).Jerry Ginsberg. "Gyroscopic Effects," Engineering Dynamics, Volume 10, p. 650, Cambridge University Press, 2007 mini|Movimiento epicicloidemini|Movimiento cerca de la separatriz, véase efecto Dzhanibekovmini|Movimiento pericicloide
Condición de tangencia y construcción Estas dos restricciones operan en diferentes marcos de referencia; la restricción elipsoidal se mantiene en el marco del eje principal (giratorio), mientras que la constante del plano invariable opera en el espacio absoluto. Para relacionar estas restricciones, se debe considerar que el gradiente de la energía cinética con respecto al vector de la velocidad angular es igual al vector del momento angular
Por lo tanto, el vector normal al elipsoide de energía cinética en es proporcional a , lo que también es cierto para el plano invariable. Como sus vectores normales apuntan en la misma dirección, estas dos superficies se intersecarán tangencialmente.
En conjunto, estos resultados muestran que, en un marco de referencia absoluto, el vector de la velocidad angular instantánea queda definido por el punto de intersección entre un plano invariable fijo y un elipsoide de energía cinética, que es tangente al plano y gira sobre él sin deslizar. Esta es la "construcción de Poinsot".
Deducción de las polhodas en el marco del cuerpo thumb|upright=1.5|Demostración del efecto Dzhanibekov en microgravedad, NASA
En el marco del eje principal (que gira en el espacio absoluto), el vector del momento angular no se conserva incluso en ausencia de pares aplicados, pero varía según lo descrito por las ecuaciones de Euler. Sin embargo, en ausencia de pares aplicados, la magnitud del momento angular y la energía cinética se conservan
donde son las componentes del vector del momento angular en los ejes principales, y son los momentos principales de inercia.
Estas leyes de conservación son equivalentes a dos restricciones para el vector del momento angular tridimensional .
La energía cinética obliga a a descansar sobre un elipsoide, mientras que la restricción de momento angular limita para deba situarse en una esfera. Estas dos superficies se cruzan describiendo dos curvas con la forma del borde de un taco, que definen las posibles soluciones de . Esto demuestra que , y la polhoda, permanecen en un bucle cerrado, en el marco de referencia móvil del objeto.
Si el cuerpo gira sobre su eje principal intermedio, entonces la intersección del elipsoide y la esfera toma la forma de dos bucles que se cruzan en dos puntos, alineados con ese eje. finalmente se moverá de este punto en una de las cuatro pistas que parten de este punto, y se dirigirá al punto opuesto. Esto se refleja en sobre el elipsoide de Poinsot (véanse el vídeo adyacente y teorema del eje intermedio).
Esta construcción difiere de la construcción de Poinsot porque considera el vector del momento angular en lugar del vector de la velocidad angular . Esta construcción parece haber sido desarrollada por Jacques Philippe Marie Binet.
Caso especial En el caso general de rotación de un cuerpo asimétrico, que tiene diferentes valores del momento de inercia sobre los tres ejes principales, el movimiento de rotación puede ser bastante complejo a menos que el cuerpo gire alrededor de un eje principal. Como se describe en el teorema del eje intermedio, la rotación de un objeto alrededor de su primer o tercer eje principal es estable, mientras que la rotación alrededor de su segundo eje principal (o eje intermedio) no lo es. El movimiento se simplifica en el caso de un cuerpo axisimétrico, en el que el momento de inercia es el mismo con respecto a dos de los ejes principales. Estos casos incluyen la rotación de un esferoide (la forma de un balón de fútbol americano) o la rotación de un esferoide (la forma de una tortita). En este caso, la velocidad angular describe un cono, y la polhoda es un círculo. Este análisis es aplicable, por ejemplo, a la precesión de los equinoccios relacionada con la rotación de un planeta (el caso de un esferoide achatado).
Dos lunas de Plutón y muchos otros cuerpos pequeños del sistema solar tienen rotaciones irregulares.
La construcción de Poinsot La construcción de Poinsot se basa en la rotación de un cuerpo rígido sin la aplicación de fuerzas externas. Además de en condiciones de ingravidez, un cuerpo libre de fuerzas se puede materializar en un campo gravitacional suspendiéndolo de su centro de gravedad, como sucede por ejemplo en una suspensión cardán. En la rotación sin fuerzas externas, de la conservación de la cantidad de movimiento, de la energía cinética rotacional y del momento angular, se deducen las siguientes consecuencias:
La conservación del momento permite que el centro de masa del cuerpo se fije en el origen O de un sistema de referencia inercial, que será considerado como estático en todo lo que sigue. Todas las velocidades angulares representadas vectorialmente con origen en el centro de masa O que mantienen la energía rotacional dada según la orientación del cuerpo, forman el elipsoide de Poinsot (de color gris en la primera figura). El punto final P de la velocidad angular en cada momento se denomina polo. Debido a que la energía rotacional y el momento angular son constantes, la componente de la velocidad angular en la dirección del momento angular también es constante (flecha negra desde el centro de masa hasta el punto A). La perpendicular en el polo al elipsoide de Poinsot es paralela al momento angular (flecha amarilla), de modo que desde el plano tangencial al elipsoide de Poinsot en el polo, tanto la distancia normal como la distancia desde el origen son constantes. Por lo tanto, el plano tangente (plano verde) es fijo y se llama plano invariable.
Si se marcan todos los puntos del elipsoide de Poinsot, que alguna vez son el polo, entonces se crea una polhoda (color rojo). Si se dibujan todos los puntos en el plano invariable que alguna vez son el polo, entonces se obtiene la herpolhoda (color verde).
Los elementos nombrados forman la construcción de Poinsot, y su transcurso temporal define un movimiento poinsotiano. Debido a que la velocidad angular tiene dimensión T−1, estos elementos deben escalarse con un factor de escala de dimensión L·T. Una vez que se hace este ajuste, el elipsoide de Poinsot es una superficie material, es decir, que los puntos materiales del cuerpo rígido permanecen en él, y el plano invariable es fijo en el espacio.
A continuación se enumeran y justifican algunas características del movimiento poinsotiano. En principio, se asumen tres momentos de inercia diferentes del cuerpo, considerándolo asimétrico. El caso especial de los momentos de inercia principales coincidentes se trata en la última sección.
Componentes de la velocidad del polo
En la rotación libre de fuerzas externas de un cuerpo, se conserva tanto su energía rotacional Erot como su momento angular . La primera se calcula a partir del segundo mediante su producto escalar con la velocidad angular:
Polhoda Polhoda epicicloide y pericicloide La velocidad angular se ajusta a la conservación de energía en el elipsoide de Poinsot (gris en la segunda figura). Pero por otro lado, debido a la conservación del momento angular, también toca el elipsoide de conservación del momento angular, que en el sistema fijo del cuerpo contiene los puntos finales de todos los vectores de velocidad angular que conducen al mismo momento angular al cuadrado (amarillo). Las polhodas son las curvas de intersección de estos dos elipsoides y, como tales, son curvas cerradas circulares, elípticas o con forma de circunferencia alabeada que, como los elipsoides, son simétricas con respecto a los tres ejes principales de inercia. Las polhodas que se muestran en rojo en la segunda figura, se denominan polhodas epicicloidessegún la denominación acuñada por Arnold Sommerfeld y Felix Klein. Para ellos, L² < 2Θ2Erot, donde Erot denota la energía rotacional, L la magnitud del momento angular y Θ2 el momento medio central de inercia. Como de costumbre, los momentos de inercia principales se organizan de acuerdo con Θ1 < Θ2 < Θ3. Las curvas dibujadas en azul son las polhodas pericicloides, donde 2Θ2Erot < L². Entre las polhodas epi y periciloidales se encuentra la polododia divisoria o separatriz (en color negro), que resulta de L² = 2Θ2 Erot, y consta de dos elipses que pueden ser consideradas como una curva compuesta.