miniaturadeimagen|Karl Marx Los manuscritos matemáticos de Karl Marx consisten principalmente en los intentos de Karl Marx de comprender los fundamentos del cálculo infinitesimal, de alrededor de 1873-1883. Una edición rusa editada por Sofya Yanovskaya finalmente se publicó en 1968, y una traducción al inglés se publicó en 1983.

Según Hubert C. Kennedy, Marx "[...] parece no haber sido consciente de los avances realizados por los matemáticos continentales en los fundamentos del cálculo diferencial, incluido el trabajo de Cauchy". En el mismo texto, Kennedy dice: "Si bien el análisis de Marx de la derivada y el diferencial no tuvo un efecto inmediato en el desarrollo histórico de las matemáticas, la afirmación de Engels de que Marx hizo [descubrimientos independientes] está ciertamente justificada. La definición operativa de Marx del diferencial previsto en el desarrollo del siglo XX en matemáticas, y hay otro aspecto del diferencial, que parece haber sido visto por Marx, que se ha convertido en una parte estándar de los libros de texto modernos: el concepto del diferencial como la parte principal de un incremento", lo que implica que la comprensión e interpretación del cálculo por parte de Marx estaba lejos de ser miope. Esto puede haber contribuido a un interés en el análisis no estándar entre los matemáticos chinos.

Historia Karl Marx nace en el Reino de Prusia, parte de la actual Alemania, en plena monarquía, en el seno de una familia judía de clase media acomodada y con amplios intereses intelectuales, la que pudo proporcionarle el acceso a la formación universitaria. Su situación le permite ser testigo del gran cambio social que llevará a la formación de las nuevas clases sociales y de un nuevo modelo de producción.

Karl Marx es conocido como filósofo, humanista, intelectual, como pensador revolucionario. Son famosos sus estudios económicos y sociológicos, es sabido que era un visionario: predijo antes que nadie la existencia de ciclos económicos; algo de lo que hoy todos hemos oído hablar a menudo, en un periodo en que la Revolución Industrial no había hecho nada más que empezar. Sin embargo, poco se sabe sobre su gran afición por las matemáticas, ni de la existencia de sus estudios y tratados matemáticos. Según su yerno Paul Lafargue: "Marx tenía otra manera notable de relajarse intelectualmente: las matemáticas, por las que tenía una afición especial. El álgebra le proporcionó incluso consuelo moral y se refugió en los momentos más angustiosos de su agitada vida. Durante la última enfermedad de su esposa no pudo dedicarse a su habitual trabajo científico y la única manera de liberarse de la opresión causada por sus sufrimientos fue sumergirse en las matemáticas. Durante esa época de sufrimiento moral escribió una obra sobre cálculo infinitesimal que, según la opinión de los expertos, es de gran valor científico y será publicada en sus obras completas. Vio en las matemáticas superiores la forma más lógica y al mismo tiempo más simple de movimiento dialéctico. Sostenía la opinión de que la ciencia no se desarrolla realmente hasta que aprende a utilizar las matemáticas".Marx dedicó toda su vida al estudio de los fenómenos sociales, y quiso hacerlo con tal rigor que terminó entregado al estudio y uso exclusivo de las matemáticas. No existe ninguna edición de sus papeles matemáticos que nos permita saber hasta donde llegó, todo lo que se sabe de su obra matemática nos ha llegado gracias a las numerosas cartas publicadas que intercambiaba mayoritariamente con Engels y con otros pensadores de la época. De hecho, Karl Marx no publicó en vida más que artículos periodísticos. Incluso su gran obra, El capital, fue publicada por Engels años después de su muerte.

Origen de su pensamiento miniaturadeimagen|311x311px|Estatua de Marx y Engels en Berlín Marx comienza a estudiar filosofía en Berlín, donde conoce el que será su íntimo amigo de por vida, Engels, y coincidiendo con la muerte de Hegel, lo que provoca que durante este periodo todas las conversaciones de los universitarios se centren en sus ideas. La más significativa es la del concepto de "dialéctica".

La dialéctica es un proceso mediante el cual, al oponerse una tesis o realidad (concepciones, tradiciones, ideas, etc.) y una antítesis (problemas, contradicciones, etc.) surge una realidad nueva, llamada síntesis de las anteriores. Esto conlleva una transformación de la realidad a la vez que una forma nueva de entenderla.

Desarrollo de su pensamiento Marx aplica este concepto filosófico a la realidad social y a la historia, como método sistemático para observar y entender las transformaciones sociales.

Además, entiende este proceso como un proceso dialéctico. Es decir, cree que el ser humano (agente) y la naturaleza (paciente) se modifican mutuamente hasta llegar a la estructura social del momento; cree que se determinan sucesivamente el uno al otro.

A partir de estas ideas, junto con Engels, desarrolla el materialismo histórico. Su objetivo es investigar, analizar, entender y predecir la realidad sin presupuestos ni prejuicios ideológicos, es decir, busca desarrollar un método empírico para analizar la realidad. Quieren analizar el capitalismo teniendo en cuenta su carácter histórico y transitorio, y no como algo estático o producto de una evolución natural. El materialismo histórico apoya en los datos, resultados y avances de la ciencia. En este punto Marx comienza a interesarse, ya no solo por la economía como herramienta, sino cada vez más por las matemáticas como herramienta necesaria para interpretar la realidad económica, política y social.

Inicio de su viaje matemático Como se ha dicho ya previamente, lo que Marx busca es analizar la realidad social teniendo en cuenta su constante desarrollo y evolución, en su auto-movimiento. Y precisamente por eso se centra en el estudio del cálculo infinitesimal.

Definición e historia El cálculo es un método o sistema de cuantificación guiado por la manipulación simbólica de las expresiones. La relación existente entre los símbolos depende de los conectores lógicos utilizados, siempre enmarcados dentro del método.

La palabra infinitesimal designa una cantidad infinitamente pequeña. La definición del concepto infinitesimal ha sido una discusión recurrente en la historia, desde la teoría de los indivisibles de Cavalieri, pasando por Newton y Leibniz, hasta los conceptos topológicos actuales.

El cálculo infinitesimal incluye el estudio de los límites, las derivadas, las integrales y las series finitas. Por lo tanto, constituye gran parte de las matemáticas modernas, construyendo esta gran torre epistemológica.

El cálculo infinitesimal es el estudio del cambio y, por tanto, tiene muchas aplicaciones; es la herramienta con la que se pueden resolver problemas que el álgebra, por sí sola, no puede.

Las matemáticas, antes del cálculo diferencial e integral, eran matemáticas que trabajaban con entes fijos en el espacio, en los que no existía el tiempo. Tales "modelos" matemáticos solo podían describir varios sistemas que se suponían muy poco variables en el tiempo.

El cálculo diferencial e integral nacen consecuencia de la voluntad de describir sistemas que evolucionan en el tiempo; por tanto, esta nueva matemática "avanzada" tenía que romper con el viejo esquema de la lógica formal, en el que esta quedaría reemplazada por una nueva filosofía, es decir, una filosofía de acuerdo con los cambios del tiempo, una nueva lógica, la lógica del movimiento, es decir, el materialismo dialéctico. La derivada miniaturadeimagen|286x286px|Derivada de una funciónLa derivada tiene la característica de ser una variación instantánea, al ser una sucesión de cocientes de intervalos cada vez más pequeños (proceso de paso al límite), en la que el numerador representa la variación de la función y el denominador representa la variación de la variable independiente.

El misticismo del cálculo

Su obsesión principal era entender el funcionamiento del capitalismo y, por ello, estudió los problemas de circulación del capital que se producen en el sistema capitalista, y la función de las letras de cambio en las contabilidades de los estados. Para profundizar en estos temas recurre al estudio de la aritmética comercial, pero se encuentra ante el mismo problema: necesita analizar los fenómenos económicos y sociales en su propia evolución. Así que trata de aplicar el método del cálculo infinitesimal, pero en profundizar, descubre algo que el trastorna: el misterio que rodeaba el cálculo infinitesimal. Acababa de nacer en su interior una nueva obsesión, un nuevo reto: eliminar este velo de misterio. Para demostrar que la dialéctica materialista era una realidad, una ley, debía cumplir las propiedades de las ciencias exactas, tenía que eliminar este obstáculo y resolver el misterio.

Carta de Engels a Marx: "Al introducir las magnitudes variables y en extender su variabilidad hasta lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande, las matemáticas, de costumbres habitualmente Morigerati, han cometido un pecado: han comido el fruto del árbol del conocimiento, que los ha abierto el camino de los resultados más gigantescos, pero también el de los errores. Adiós al estado virginal de validez absoluta, de irrefutable demostración en que se encontraba todo lo que era matemático; se inauguró el reino de las controversias, y ahora hemos llegado al punto en que la mayoría de las personas utilizan el cálculo diferencial o integral no para que entiendan lo que hacen, sino por fe ciega, porque hasta ahora los resultados son siempre justos." Comienza a estudiar de manera autónoma, recorre los mejores manuales de la época para conseguirlo. Comienza por el método de Newton, que acaba descartando por ser demasiado complejas las resoluciones, pasa por el método de Leibniz, coge ideas de D'Alembert y Lacroix, hasta teoremas de Mac Laurin, Lagrange, etc. Después de haber reunido y comentado tanta información, Marx comienza a elaborar su propio método.

Sin embargo, no existe ninguna obra editada que recopile todos sus escritos. Se sabe que el gobierno ruso conserva miles de sus manuscritos matemáticos, pero que, hoy por hoy, no son editables.

Obra matemática de Marx

Ideas miniaturadeimagen|Estatua de Karl Marx en Neubrandenburg, Alemania

Empiezan a aparecer con más frecuencia las nociones de función y la de en sustitución del . Propone un proceso de diferenciación "algebraica" para ciertos tipos de funciones. Busca un proceso "real" para encontrar la función derivada: quiere encontrar un algoritmo que permita saber si, para una función determinada, hay una derivada y en este caso, como encontrarla. El límite no tiene una resolución algorítmica, por lo que observa que muchos problemas solo admiten soluciones para algunos tipos de funciones. Las funciones que más interesan a Marx, como es coherente con sus intereses, son las analíticas, es decir, funciones desarrollables en series completas, las que presenta como objeto de diferenciación algebraica. Marx ya plantea problemas como los diferentes sentidos de una función: "procedentes de x" o "yendo hacia ax", insiste especialmente en cómo se debe representar el cambio de variables, y en qué consiste la dialéctica de este cambio. Dado que en la realidad solo se puede fijar cada valor de forma aproximada, las hipótesis necesarias sobre las que se sustenta el cálculo diferencial deberían permitir encontrar la expresión de de una determinada función , sin utilizar ninguna información sobre el valor exacto de cualquier variable, es decir, tan solo a partir de la expresión de . Sostiene que no todos los cambios se pueden generalizar con la adición de un incremento cualquiera. En cambio, cree que cuando se evaluará el resultado de un cambio ya efectuado, sí podemos hablar de incremento.