El diagrama de Minkowski, también conocido como diagrama de espacio-tiempo, fue desarrollado en 1908 por Hermann Minkowski y proporciona una ilustración de las propiedades del espacio y del tiempo en la teoría de la relatividad especial. Permite obtener una comprensión cualitativa de los fenómenos correspondientes, como la dilatación del tiempo y la contracción de Lorentz, sin necesidad de ecuaciones matemáticas.

Son gráficos bidimensionales que representan eventos que suceden en un universo que consiste en una dimensión espacial y una dimensión temporal. A diferencia de un gráfico de distancia-tiempo habitual, la distancia se muestra en el eje horizontal y el tiempo en el eje vertical. Además, las unidades de medida del tiempo y del espacio se eligen de tal manera que un objeto que se mueve a la velocidad de la luz se representa siguiendo un ángulo de 45° con respecto a los ejes del diagrama.

De esta manera, cada objeto, como un observador o un vehículo, traza una cierta línea en el diagrama, que se llama su línea de universo. Además, cada punto del diagrama representa una cierta posición en el espacio y el tiempo, y se denomina evento, independientemente de que ocurra algo relevante allí.

Conceptos básicos Gráficos de posición en función del tiempo

En el estudio de la cinemática unidimensional, los gráficos de posición frente al tiempo (también llamados gráficos de distancia-tiempo, o gráficos d-t) proporcionan un medio útil para describir el movimiento. Las características específicas del movimiento de los objetos se muestran mediante la forma y la pendiente de las líneas. En la figura adjunta, el objeto observado se aleja del origen a una velocidad uniforme de 1.66 m/s durante seis segundos, se detiene durante cinco segundos, y luego regresa al origen durante un período de siete segundos a una velocidad no constante.

Diagramas espacio-tiempo En su nivel más básico, un diagrama de espacio-tiempo es simplemente un gráfico de tiempo frente a la posición, con las direcciones de los ejes de un gráfico d-t habitual, intercambiadas entre sí. De esta forma, el eje vertical se refiere a los valores de la coordenada temporal, y el eje horizontal indica el valor de la coordenada espacial. Especialmente cuando se usan en teoría de la relatividad especial (TRE), los ejes temporales de un diagrama espacio-tiempo se escalan por la velocidad de la luz , y por lo tanto, son frecuentemente etiquetados como . Esto cambia la dimensión de la cantidad física con la que se mide el <Tiempo> por una <Longitud>, de acuerdo con la dimensión asociada a los ejes espaciales, que se etiquetan frecuentemente como .

Configuración estándar

Para facilitar la comprensión de cómo se comparan las coordenadas del espacio-tiempo, medidas por observadores en diferentes marcos de referencia, es útil trabajar con una configuración simplificada. Interpretando cuidadosamente los diagramas, es posible simplificar las matemáticas inherentes al movimiento sin pérdida de generalidad en las conclusiones que se alcanzan. Dejando a un lado el componente temporal por el momento, dos sistemas de referencia inerciales (es decir, dos marcos situados en el espacio tridimensional convencional), S y S'(pronunciado "S prima"), cada uno con los observadores O y O' en reposo en sus respectivos marcos, pero observando al otro moverse con velocidades ±v, se dice que se hallan en una configuración estándar, cuando: Los ejes x, y, z del marco S están orientados en paralelo a los respectivos ejes de coordenadas asociados al cuadro S'. El marco S′ se mueve en la dirección x del marco S con una velocidad constante v según se mide desde el marco S. La posición de los orígenes de los marcos S y S' coincide para el tiempo t=0 en el cuadro S y t′=0 en el cuadro S′.

Esta configuración espacial se muestra en la figura adjunta, en la que las coordenadas temporales se anotan por separado, al igual que las cantidades t y t'''.

En un paso adicional de simplificación, a menudo es posible considerar solo la dirección del movimiento observado e ignorar las otras dos componentes espaciales, permitiendo que x y ct se representen en diagramas espaciotemporales bidimensionales, como se ha comentado anteriormente.

Diagramas de Minkowski El término diagrama de Minkowski se refiere a una forma específica de diagrama de espacio-tiempo que se usa con frecuencia en la relatividad especial. El término se usa tanto en un sentido genérico como particular. En general, un diagrama de Minkowski es una representación gráfica bidimensional de una parte del espacio-tiempo de Minkowski, generalmente donde el espacio se ha reducido a una sola dimensión. Las unidades de medida en estos diagramas se toman de manera tal que el cono de luz en un evento consiste en las líneas de pendiente más o menos uno que pasan a través del punto de la gráfica asociado a ese evento.Mermin (1968) Chapter 17 Las líneas horizontales corresponden a la noción usual de eventos simultáneos para un observador estacionario con respecto al origen.

Un diagrama de Minkowski particular ilustra el resultado de una transformación de Lorentz. La transformación de Lorentz relaciona dos marcos de referencia, cuando un observador estacionario en el evento realiza un cambio de velocidad en el eje . El nuevo eje de tiempo del observador forma un ángulo con el eje de tiempo anterior, con (es decir, α < 45°). En el nuevo marco de referencia, los eventos simultáneos se sitúan en líneas rectas paralelas a una línea recta inclinada con el ángulo respecto a las líneas de simultaneidad anteriores. Este es el nuevo eje . Tanto el conjunto original de ejes como el conjunto de ejes en desplazamiento tienen la propiedad de que son ortogonales con respecto al espacio-tiempo de Minkowski o al producto con punto relativista.

Sea cual sea la magnitud de , la línea forma el bisector del universo observable.Véase Vladimir Karapetoff

Por ejemplo, las unidades de medida del espacio y del tiempo en los ejes pueden tomarse como uno de los pares siguientes: Unidades de ~ 30 centímetros de longitud y nanosegundos. Unidades astronómicas e intervalos de unos 8 minutos y 19 segundos (499 segundos) Años luz y años Segundos luz y segundos

De esta manera, las trayectorias de la luz se representan mediante líneas paralelas a la bisectriz entre los dos ejes, es decir, líneas rectas con pendiente 1, o lo que es lo mismo, inclinadas 45°.

Diagramas del espacio-tiempo en la física newtoniana

Los ejes negros etiquetados como y en el diagrama adjunto son el sistema de coordenadas de un observador, denominado en reposo, y que está ubicado en . La línea del universo de este observador es idéntica al eje de tiempo . Cada línea paralela a este eje correspondería también a un objeto en reposo pero en otra posición. La línea azul describe un elemento que se mueve con velocidad constante hacia la derecha, como podría ser un observador en movimiento.

Esta línea azul etiquetada como puede interpretarse como el eje del tiempo para el segundo observador. Junto con el eje , que es idéntico para ambos observadores, representa su sistema de coordenadas. Dado que los marcos de referencia están en configuración estándar, ambos observadores están de acuerdo con la ubicación del origen de sus sistemas de coordenadas. Los ejes para el observador en movimiento no son perpendiculares entre sí y la escala en su eje de tiempo se estira. Para determinar las coordenadas de un determinado evento, se deben construir dos líneas, cada una paralela a uno de los dos ejes, pasando por el evento, y se leen sus intersecciones con los ejes.

La determinación de la posición y el tiempo del evento A como el mostrado en el ejemplo representado en el diagrama, lleva a la misma hora para ambos observadores, como se esperaba. Solo para la posición se obtienen valores diferentes, ya que el observador en movimiento se ha acercado a la posición del evento A desde el instante . En general, todos los eventos en una línea paralela al eje ocurren simultáneamente para ambos observadores. Se considera un único tiempo universal , que impone la existencia de un eje de posición común. Por otro lado, debido a sus dos ejes de posición diferentes, los observadores suelen medir coordenadas diferentes para el mismo evento. Esta traducción gráfica de y a y y viceversa se describe matemáticamente por la denominada transformación de Galileo.

Diagramas de Minkowski en la relatividad especial

En 1905, Albert Einstein descubrió que la descripción newtoniana es incorrecta,. Véase también: English translation. con Hermann Minkowski en 1908 proporcionando la representación gráfica.Various English translations on Wikisource: Space and Time El espacio y el tiempo tienen propiedades que conducen a diferentes reglas para la traslación de coordenadas en el caso de observadores en movimiento. En particular, los eventos que se estima que suceden simultáneamente desde el punto de vista de un observador, ocurren en diferentes momentos para el otro.

En el diagrama de Minkowski, esta relatividad de la simultaneidad se corresponde con la introducción de un separado para el observador en movimiento. Siguiendo la regla descrita anteriormente, cada observador interpreta todos los eventos en una línea paralela a su eje o como simultáneos. La secuencia de eventos desde el punto de vista de un observador se puede ilustrar gráficamente desplazando esta línea en el diagrama de abajo hacia arriba.

Si se asigna en lugar de en los ejes de tiempo, el ángulo entre los ejes de y será idéntico al de los ejes de tiempo y . Esto se desprende del segundo postulado de la relatividad especial, que dice que la velocidad de la luz es la misma para todos los observadores, independientemente de su movimiento relativo (véase más adelante). El ángulo viene dado por: Extract of page 93

La traslación correspondiente de y a y y viceversa se describe matemáticamente mediante la transformación de Lorentz, que es . En el eje , = 0, entonces . Esto implica que la pendiente de es . Independientemente de los ejes de espacio y tiempo que surjan a través de dicha transformación, en un diagrama de Minkowski corresponden a los diámetros conjugados de un par de hipérbolas. Las escalas en los ejes se proporcionan de la siguiente manera: si es la longitud de la unidad en los ejes de y respectivamente, la longitud de la unidad en los ejes de y es:

El eje representa la línea del universo de un reloj que descansa en , con que representa el tiempo transcurrido entre dos eventos que suceden en esta línea, también llamada de tiempo propio entre estos eventos. La longitud sobre el eje representa la longitud en reposo o longitud propia de una barra que descansa en . La misma interpretación también se puede aplicar a la distancia sobre los ejes y para los relojes y barras que descansan en .

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