mini|300px|Los ángulos de Euler como rotaciones en el espacio tridimensional
En geometría, existen varias formalizaciones para expresar una rotación en tres dimensiones como una transformación matemática. En física, este concepto se aplica a la mecánica clásica, donde la cinemática rotacional (o angular) es la ciencia que describe cuantitativamente un movimiento puramente rotativo. La orientación de un objeto en un instante dado se describe con las mismas herramientas, ya que se define como una rotación imaginaria a partir de una ubicación de referencia en el espacio, en lugar de una rotación realmente observada de una ubicación anterior en el espacio.
De acuerdo con el teorema de rotación de Euler, la rotación de un cuerpo rígido (o sistema de coordenadas tridimensional con el origen fijo) se describe mediante una única rotación respecto a un determinado eje. Dicha rotación se puede describir de forma única mediante un mínimo de tres parámetros reales. Sin embargo, por varias razones, hay varias formas de representarlo. Muchas de estas notaciones utilizan más del mínimo necesario de tres parámetros, aunque cada una de ellas tiene solo tres grados de libertad.
Un ejemplo donde se usa la representación de las rotaciones es en la visión artificial, donde un observador automático necesita rastrear un objetivo. Si se considera un cuerpo rígido, asociado con tres vectores unitarios ortogonales fijados a su cuerpo (que representan los tres ejes del sistema de coordenadas locales del objeto). El problema básico es especificar la orientación de estos tres vectores unitarios, y por lo tanto del cuerpo rígido, con respecto al sistema de coordenadas del observador, considerado como una ubicación de referencia en el espacio.
Rotaciones y movimientos
Las formalizaciones de la rotación se centran en los movimientos propios (es decir, que preservan la orientación) del espacio euclídeo con un punto fijo, a los que se refiere una rotación. Aunque los movimientos físicos con un punto fijo son un caso importante (como los descritos en el marco del centro de masas, o los movimientos de un par cinemático), este enfoque permite describir todos los movimientos. Cualquier movimiento propio del espacio euclídeo se descompone en una rotación alrededor del origen y en una traslación. Cualquiera que sea el orden de su composición, el componente de rotación puro no cambiaría, determinado únicamente por el movimiento completo.
También se pueden entender las rotaciones puras como aplicaciones lineales en un espacio vectorial dotado con una estructura euclídea, no como aplicaciones de puntos de un espacio afín correspondiente. En otras palabras, una formalización de la rotación refleja tan solo la parte rotativa de un movimiento, que contiene tres grados de libertad, e ignora la parte de traslación, que contiene otros tres.
Formalizaciones alternativas
Matriz de rotación
La tríada de vectores unitarios mencionada anteriormente, también se denomina una base. La especificación de las coordenadas (componentes) de los vectores de esta base en su posición actual (girada), en términos de los ejes de coordenadas de referencia (no girados), describirá completamente la rotación. Los tres vectores unitarios,, y , que forman la base rotada constan de 3 coordenadas, lo que da un total de 9 parámetros.
Estos parámetros se pueden escribir como los elementos de una matriz de orden , llamada matriz de rotación. Por lo general, las coordenadas de cada uno de estos vectores se organizan en una columna de la matriz (sin embargo, téngase en cuenta que existe una definición alternativa de la matriz de rotación y se usa ampliamente, donde las coordenadas de los vectores definidas anteriormente están ordenadas por filas)
No todos los elementos de la matriz de rotación son independientes; como dicta el teorema de rotación de Euler, la matriz de rotación tiene solo tres grados de libertad.
La matriz de rotación tiene las siguientes propiedades: es un matriz ortogonal real, por lo que cada una de sus filas o columnas representa un vector unitario. Los valores propios de son
donde es la unidad imaginaria estándar con la propiedad El determinante de es +1, equivalente al producto de sus valores propios. La traza de es , equivalente a la suma de sus valores propios.
El ángulo que aparece en la expresión de los valores propios corresponde al ángulo del eje de Euler, y representa el ángulo girado. El vector propio correspondientes al valor propio de 1 es el eje de Euler que lo acompaña, ya que el eje es el único vector (distinto de cero) que permanece sin cambios al multiplicarlo (girándolo) hacia la izquierda con la matriz de rotación.
Las propiedades anteriores son equivalentes a:
que es otra forma de indicar que forma una base ortonormal en 3D. Estas declaraciones comprenden un total de 6 condiciones (el producto cruzado contiene 3), dejando la matriz de rotación con solo 3 grados de libertad, según se requiera.
Dos rotaciones sucesivas representadas por matrices y se combinan fácilmente como elementos de un grupo,
(téngase en cuenta el orden, ya que el vector que se gira se multiplica desde la derecha).
La facilidad con que se pueden rotar los vectores utilizando una matriz de rotación, así como la facilidad de combinar rotaciones sucesivas, hacen de la matriz de rotación una forma útil y popular de representar rotaciones, aunque sea menos concisa que otras representaciones.
Eje y ángulo de Euler (vector de rotación) thumb|right|Visualización de una rotación representada por un eje y un ángulo de Euler
Por el teorema de rotación de Euler, se sabe que cualquier giro se puede expresar como una sola rotación sobre algún eje. El eje es el vector unitario (único si se exceptúa su signo) que permanece sin cambios por efecto de la rotación. La magnitud del ángulo también es única, y su signo está determinado por el signo del eje de rotación.
El eje se puede representar como un vector unitario tridimensional
y el ángulo por un escalar .
Como el eje está normalizado, solo tiene dos grados de libertad. El ángulo agrega el tercer grado de libertad a esta notación de la rotación.
Se puede expresar la rotación como un vector de rotación, o vector de Euler, un vector tridimensional no normalizado cuya dirección especifica el eje y cuya longitud es ,
El vector de rotación es útil en algunos contextos, ya que representa una rotación tridimensional con solo tres valores escalares (sus componentes), que representan los tres grados de libertad. Esto también es cierto para representaciones basadas en secuencias de tres ángulos de Euler (véase más adelante).
Si el ángulo de rotación es cero, el eje no está definido de forma única. La combinación de dos rotaciones sucesivas, cada una representada por un eje y un ángulo de Euler, no es sencilla y, de hecho, no satisface la ley de la adición de vectores, lo que muestra que las rotaciones finitas no son realmente vectores. Es mejor emplear la notación de la matriz de rotación o la del cuaternión, calcular el producto y luego volver a convertirlo en el eje y ángulo de Euler.
Rotaciones de Euler thumb|170px|Rotaciones de Euler de la Tierra. Intrínseca (verde), precesión (azul) y nutación (rojo)
La idea detrás de las rotaciones de Euler es dividir la rotación completa del sistema de coordenadas en tres rotaciones constitutivas más simples, llamadas precesión, nutación y rotación intrínseca, siendo cada una de ellas un incremento en uno de los ángulos de Euler. Obsérvese que la matriz externa representará una rotación alrededor de uno de los ejes del marco de referencia, y la matriz interna representa una rotación alrededor de uno de los ejes del marco en movimiento. La matriz central representa una rotación alrededor de un eje intermedio llamado línea de nodos.
Sin embargo, la definición de los ángulos de Euler no es única y en la bibliografía se utilizan muchas convenciones diferentes. Estas convenciones dependen de los ejes sobre los que se realizan las rotaciones y de su secuencia (ya que las rotaciones no son conmutativas).
La convención que se usa generalmente se indica especificando los ejes sobre los cuales se realizan las rotaciones consecutivas (antes de ser compuestas), refiriéndose a ellas mediante el índice o la letra . Las comunidades de ingeniería y robótica suelen utilizar los ángulos de Euler 3-1-3. Obsérvese que después de componer las rotaciones independientes, ya no giran alrededor de su eje. La matriz más externa rota las otras dos, dejando la segunda matriz de rotación sobre la línea de nodos y la tercera en un marco que se mueve con el cuerpo. Hay posibles combinaciones de tres rotaciones básicas, pero solo de ellas se pueden usar para representar rotaciones 3D arbitrarias como ángulos de Euler. Estas 12 combinaciones evitan rotaciones consecutivas alrededor del mismo eje (como XXY), lo que reduciría los grados de libertad que se pueden representar.
Por lo tanto, los ángulos de Euler nunca se expresan en términos del marco externo, o en términos del marco del cuerpo girado en movimiento conjunto, sino en una mezcla. Se utilizan otras convenciones (por ejemplo, la matriz de rotación o los cuaterniones) para evitar este problema.
En aviación, la orientación de la aeronave generalmente se expresa mediante los ángulos de Tait-Bryan intrínsecos, siguiendo la convención , que se denominan guiñada, cabeceo y alabeo (o también curso, elevación y tonel).
Cuaterniones
Los cuaterniones, que forman un espacio vectorial de cuatro dimensiones, han demostrado ser muy útiles para representar rotaciones debido a varias ventajas sobre las otras notaciones mencionadas en este artículo.
La representación de una rotación mediante un cuaternión se escribe como un versor (cuaternión normalizado)
La definición anterior almacena el cuaternión como una matriz siguiendo la convención utilizada en (Wertz 1980) y (Markley 2003). Una definición alternativa utilizada, por ejemplo, en (Coutsias 1999) y (Schmidt 2001) define el término "escalar" como el primer elemento del cuaternión, con los otros elementos desplazados hacia abajo una posición.
En términos del eje de Euler,
y del ángulo , los componentes de este versor se expresan de la siguiente manera:
El análisis muestra que la parametrización utilizando cuaterniones obedece a la siguiente restricción:
El último término (en esta definición) a menudo se llama el término escalar, que tiene su origen en los cuaterniones cuando se entienden como la extensión matemática de los números complejos, escrito como
y donde son los números hipercomplejos que satisfacen
La multiplicación de cuaterniones, que se utiliza para especificar una rotación compuesta, se realiza de la misma manera que la multiplicación de números complejos, excepto que el orden de los elementos debe tenerse en cuenta, ya que la multiplicación no es conmutativa. En notación matricial, se puede escribir la multiplicación de cuaterniones como
Por lo tanto, combinar dos rotaciones consecutivas utilizando cuaterniones es tan simple como usar la matriz de rotación. Así como dos matrices de rotación sucesivas, seguida de , se combinan como , se puede representar esto con parámetros de cuaternión de una manera similar y concisa:
Los cuaterniones son una parametrización muy popular, debido a las siguientes propiedades: Notación más compacta que la matricial y menos susceptible a errores de redondeo Los cuaterniones varían de forma continua sobre la esfera unitaria en (indicado por ) a medida que cambia la orientación, evitando los saltos debidos a las discontinuidades (inherentes a las parametrizaciones tridimensionales) La expresión de la matriz de rotación en términos de parámetros de cuaternión no implica utilizar funciones trigonométricas Es simple combinar dos rotaciones individuales representadas como cuaterniones usando el producto de cuaterniones