En matemáticas, el grupo de las rotaciones en cuatro dimensiones respecto a un punto fijo se denota SO(4). El nombre proviene del hecho de que es el grupo ortogonal de orden 4.
En este artículo, rotación significa desplazamiento rotacional. Para evitar la multiplicidad cíclica de los giros, se supone que los ángulos de rotación están comprendidos en el segmento cerrado [0, π], salvo que el contexto lo mencione o lo indique claramente.
Un plano fijo tiene la propiedad de que cada vector en dicho plano no cambia después de la rotación. En un plano invariante, cada vector, aunque puede verse afectado por la rotación, permanece en el plano después de verificarse la rotación.
Geometría de las rotaciones en 4D Las rotaciones en cuatro dimensiones son de dos tipos: rotaciones simples y rotaciones dobles.
Rotaciones simples Una rotación simple sobre un centro de rotación deja un plano fijo completo (plano axial) que pasa por . Cada plano que es completamente ortogonal a se interseca con en un cierto punto . Cada punto es el centro de la rotación 2D inducida por en . Todas estas rotaciones 2D tienen el mismo ángulo de rotación .
Las semirrectas de en el plano axial no se desplazan; las semirrectas de ortogonales a giran un ángulo ; todas las demás semirrectas se desplazan en un ángulo menor que .
Rotaciones dobles
Para cada rotación en 4 dimensiones (con el origen fijo), hay al menos un par de planos bidimensionales ortogonales y , cada uno de los cuales es invariante y cuya suma directa abarca todo el espacio 4D. Por lo tanto, en cualquiera de estos dos planos produce una rotación ordinaria del plano. Para casi todos los (todo el conjunto de rotaciones de 6 dimensiones excepto un subconjunto de 3 dimensiones), los ángulos de rotación en el plano y en el plano , ambos asumidos como distintos de cero, son diferentes. Los ángulos de rotación desiguales y que satisfacen , son casi determinados exclusivamente por . Suponiendo que el 4-espacio está orientado, entonces las orientaciones de los 2-planos y se pueden elegir de dos maneras consistentes con esta orientación. Si los ángulos de rotación son desiguales (), a veces se denomina rotación doble.
En el caso de doble rotación, y son el único par de planos invariantes, y las semirrectas a través del origen en , ; se desplazan y respectivamente, y las semirrectas que pasan por el origen que no pertenecen a o , se desplazan según ángulos estrictamente comprendidos entre y .
Rotaciones isoclínicas Si los ángulos de rotación de una rotación doble son iguales, entonces hay infinitos planos invariantes en lugar de solo dos, y todas las semirrectas que pasan por se desplazan según el mismo ángulo. Estas rotaciones se denominan isoclínicas o rotaciones equiangulares, o también desplazamientos de Clifford. Sin embargo, no todos los planos a través de son invariantes bajo rotaciones isoclínicas; solo los planos que ocupan una semirrecta y la semirrecta desplazada correspondiente son invariantes.
Suponiendo que se ha elegido una orientación fija para el espacio de 4 dimensiones, las rotaciones 4D isoclínicas se pueden clasificar en dos categorías. Para ver esto, considérese una rotación isoclínica , y tómese un conjunto ordenado de orientación coherente de semirrectas mutuamente perpendiculares en (denotado como ) de modo que y abarquen un plano invariante, y por lo tanto y también abarquen un plano invariante. Ahora supóngase que solo se especifica el ángulo de rotación . Entonces, en general, hay cuatro rotaciones isoclínicas en los planos y con un ángulo de rotación , dependiendo de los sentidos de rotación en y .
Tomando la convención de que los sentidos de rotación de a y de a se consideran positivos, se tienen las cuatro rotaciones , , y . y son inversas entre sí; al igual que y . Mientras se encuentre entre 0 y Π, estas cuatro rotaciones serán distintas.
Las rotaciones isoclínicas con signos iguales se denominan isoclínicas a la izquierda; aquellas con signos opuestos son isoclínicas a la derecha. Las rotaciones isoclínicas a la izquierda y a la derecha están representadas respectivamente por la multiplicación a la izquierda y a la derecha por cuaterniones unitarios (véase el párrafo Relación con los cuaterniones a continuación).
Las cuatro rotaciones son de paridad diferente excepto si o . El ángulo corresponde a la rotación identidad; corresponde a la simetría central, dada por el negativo de la matriz identidad. Estos dos elementos de SO(4) son los únicos que son simultáneamente isoclínicos a la izquierda y a la derecha.
La isoclinia a la izquierda y a la derecha así definida, parece depender de la rotación isoclínica específica que se hubiera seleccionado. Sin embargo, cuando se selecciona otra rotación isoclínica con sus propios ejes , , , , entonces siempre se puede elegir el orden de , , , de tal manera que se pueda transformar en mediante una rotación en lugar de hacerlo por una rotación-reflexión (es decir, de modo que la base ordenada , , , también sea coherente con la misma elección fija de orientación que , , , ). Por lo tanto, una vez que se ha seleccionado una orientación (es decir, un sistema de ejes que se denota universalmente como a la derecha), se puede determinar el carácter a la izquierda o a la derecha de una rotación isoclínica específica.
Estructura de grupo de SO(4) SO(4) forma un grupo de Lie compacto, no conmutativo y de dimensión 6.
Cada plano a través del centro de rotación es el eje planar de un isomorfismo que forma un subgrupo conmutativo con respecto a SO(2). Todos estos subgrupos son mutuamente conjugados en SO(4).
Cada par de planos completamente ortogonales que pasan a través de O forman un par de planos invariantes de un subgrupo conmutativo de SO(4) isomorfo a SO(2) × SO(2).
Estos grupos son toros máximos de SO(4), que se conjugan mutuamente en SO(4) (véase también toro de Clifford).
Todas las rotaciones isoclínicas a la izquierda forman un subgrupo no conmutativo de SO(4), que es isomorfo al grupo multiplicativo de los cuaterniones unitarios. Todas las rotaciones isoclínicas a la derecha también forman un subgrupo de SO(4), isomorfo a . Tanto como son subgrupos máximos de SO(4).
Cada rotación isoclínica a la izquierda conmuta con una rotación isoclínica a la derecha. Esto implica que existe un producto directo con subgrupos normales y . Los dos grupos cocientes correspondientes son isomorfos al otro factor del producto directo, es decir, isomorfos a (esta correspondencia no cubre SO(4) ni un subgrupo de SO(4), puesto que y no son disjuntos: la identidad y la inversión central pertenecen tanto a como a ).
Cada rotación 4D es de dos maneras el producto de las rotaciones isoclínicas a la izquierda y a la derecha y . y se determinan en conjunto hasta la inversión central, es decir, cuando tanto como se multiplican por la inversión central, su producto es nuevamente.
Esto implica que es el grupo de recubrimiento universal de SO(4), su doble recubrimiento único, y que y son subgrupos normales de SO(4). La rotación identidad y la inversión central forman un grupo de orden 2, que es el centro de SO(4) y de y . El centro de un grupo es un subgrupo normal de ese grupo. El grupo de factores de en SO(4) es isomorfo a SO(3) × SO(3). Los grupos de factores de por y de por son cada uno isomorfos a SO(3). De manera similar, los grupos de factores de SO(4) por y de SO(4) por son cada uno isomorfos a SO(3).
La topología de SO(4) es la misma que la del grupo de Lie SO(3) × Spin(3)=SO(3) × SU(2), es decir, la topología de . Sin embargo, cabe destacar que como grupo de Lie, SO(4) no es un producto directo de grupos de Lie, por lo que no es isomorfo a SO(3) × Spin(3)=SO(3) × SU(2).
Propiedad especial de SO (4) entre los grupos de rotación en general Los grupos de rotación de dimensión impar no contienen la inversión central, y son grupos simples.
Los grupos de rotación de dimensiones pares contienen la inversión central y tienen el grupo como su centro. Desde SO(6) en adelante, son casi simples en el sentido de que los grupos cocientes de sus centros son grupos simples.
SO(4) es diferente: no existe conjugación por ningún elemento de SO(4) que transforme las rotaciones isoclínicas a la izquierda y a la derecha entre sí. Las reflexiones transforman una rotación isoclínica a la izquierda en una isoclínica a la derecha mediante conjugación, y viceversa. Esto implica que bajo el grupo O(4) de todas las isometrías con punto fijo , los subgrupos y se conjugan mutuamente y, por lo tanto, no son subgrupos normales de O(4). El grupo de rotación en 5D, denominado SO(5) y todos los grupos de rotación superiores contienen subgrupos isomorfos a O(4). Al igual que SO(4), todos los grupos de rotación de dimensiones pares contienen rotaciones isoclínicas. Pero a diferencia de SO(4), en SO(6) y en todos los grupos de rotación de dimensiones más altas, cualquier par de rotaciones isoclínicas a través del mismo ángulo son conjugadas. Los conjuntos de todas las rotaciones isoclínicas no son ni siquiera subgrupos de SO(), y mucho menos subgrupos normales.
Álgebra de las rotaciones en 4D SO(4) se identifica comúnmente con el grupo de orientación que conserva las aplicaciones lineales isométricas de un espacio vectorial 4D con un producto interno en los números reales sobre sí mismo.
Con respecto a una base ortonormal, dicho espacio SO(4) se representa como el grupo de matrices ortogonales de cuarto orden sobre los números reales con determinante +1.
Descomposición isoclínica Una rotación 4D dada por su matriz se descompone en una rotación isoclínica a la izquierda y a la derecha como se indica a continuación:
Sea
una matriz con respecto a una base ortonormal arbitraria.
Se calcula su matriz asociada
tiene rango uno y posee módulo unidad como un vector 16D si y solo si es efectivamente una matriz de rotación 4D. En este caso, existen números reales y de tal manera que
y
Hay exactamente dos conjuntos y , tales que y . Ambos son opuestos entre sí.
La matriz de rotación es igual a
Esta fórmula se debe a Van Elfrinkhof (1897).
El primer factor en esta descomposición representa una rotación isoclínica a la izquierda, el segundo factor es una rotación isoclínica a la derecha. Los factores se determinan hasta la matriz identidad negativa de cuarto orden, es decir, la inversión central.
Relación con los cuaterniones Un punto en el espacio de 4 dimensiones con coordenadas cartesianas se puede representar mediante un cuaternión .
Una rotación isoclínica a la izquierda se representa mediante la multiplicación a la izquierda por un cuaternión unidad . En lenguaje matricial, esto es
Del mismo modo, una rotación isoclínica a la derecha se representa mediante la multiplicación a la derecha por un cuaternión unidad , que se encuentra en forma de vector matriz
En la sección anterior se muestra cómo una rotación 4D general se divide en factores isoclínicos a la izquierda y a la derecha.
En el lenguaje de los cuaterniones, la fórmula de Van Elfrinkhof se lee como
o, en forma simbólica,
Según el matemático alemán Felix Klein, esta fórmula ya la conocía Cayley en 1854.
La multiplicación de cuaterniones es asociativa. Por lo tanto,
lo que demuestra que las rotaciones isoclínicas a la izquierda y a la derecha conmutan entre sí.
Valores propios de las matrices de rotación 4D