En física matemática, la ecuación de Degasperis-Procesi es una de las dos únicas ecuaciones con soluciones exactas en la siguiente familia de EDPs de tercer orden, no lineales y dispersivas:
donde y b son parámetros reales con b=3 para la ecuación de Degasperis-Procesi. Fue descubierto por Degasperis y Procesi en una búsqueda de ecuaciones integrables similares en forma a la ecuación de Camassa-Holm, que es la otra ecuación integrable en esta familia, la correspondiente a b=2; estas dos ecuaciones son los únicos casos integrables que se han verificado utilizando una variedad de pruebas de integrabilidad diferentes.Degasperis & Procesi 1999; Degasperis, Holm & Hone 2002; Mikhailov & Novikov 2002; Hone & Wang 2003; Ivanov 2005 Aunque se descubrió únicamente por sus propiedades matemáticas, la ecuación de Degasperis-Procesi con ha demostrado más tarde que desempeña un papel similar en la teoría de las ondas de agua que la ecuación de Camassa-Holm.Johnson 2003; Dullin, Gottwald & Holm 2004; Constantin & Lannes 2007; Ivanov 2007
Soluciones de solitón Entre las soluciones de la ecuación de Degasperis-Procesi (en el caso especial ) se encuentran las llamadas soluciones multipicos, que son funciones de la forma:
donde las funciones and satisfacen a:Degasperis, Holm & Hone 2002
Estas EDOs pueden ser resueltas explícitamente en términos de funciones elementales, usando métodos espectrales inversos.Lundmark & Szmigielski 2003, 2005
Cuando las soluciones de solitón de la ecuación de Degasperis-Procesi son suaves, convergen a picos en el límite cuando tiende a cero.Matsuno 2005a, 2005b
Soluciones discontinuas La ecuación de Degasperis-Procesi, con , es formalmente equivalente a la ley de conservación hiperbólica.
donde
La estrella denota convolución con respecto a x. En esta formulación, admite soluciones débiles con un grado muy bajo de regularidad, incluso discontinuas como las ondas de choque.Coclite & Karlsen 2006, 2007; Lundmark 2007; Escher, Liu & Yin 2007
Por contraste, la formulación correspondiente de la ecuación de Camassa-Holm contiene una convolución que involucra a ambos y , lo que sólo tiene sentido si la u se encuentra en el espacio Sobolev. con respecto a x. Por el teorema de Sobolev, esto significa en particular que las soluciones débiles de la ecuación de Camassa-Holm deben ser continuas con respecto a x.
Referencias
Bibliografía
Bibliografía adicional
Categoría:Física matemática Categoría:Solitones Categoría:Ecuaciones en derivadas parciales Categoría:Ecuaciones de dinámica de fluidos