En filosofía, una supertarea es una secuencia de operaciones infinita pero numerable que se producen secuencialmente dentro de un intervalo de tiempo finito. Las supertareasEl concepto está relacionado con los números cardinales. se denominan hipertareas cuando el número de operaciones se convierte en infinito y no numerable. Una hipertarea que incluye una operación para cada número ordinal se llama ultratarea. El término supertarea fue acuñado por el filósofo James F. Thomson, quien ideó el problema de la lámpara de Thomson. El término hipertarea deriva de Clark y Read en su artículo con ese nombre.
Historia Zenón Movimiento El origen del interés en las supertareas normalmente se atribuye a Zenón de Elea, quien mediante razonamientos en forma de aporías argumentaba que el movimiento es imposible. Argumentó lo siguiente: supóngase que el veloz Aquiles desea moverse de A a B. Para lograr esto, debe recorrer la mitad de la distancia de A a B. Y para llegar desde el punto medio de AB a B, Aquiles debe atravesar la mitad de esta distancia, y así sucesivamente. Sin embargo, por muchas veces que realice una de estas tareas "de desplazamiento", le queda otra por hacer antes de llegar a B. Por lo tanto, según Zenón, ese movimiento (viajar una distancia no nula en un tiempo finito) es una supertarea. Zenón argumentaba además que las supertareas no son posibles (¿cómo puede completarse esta secuencia, si para cada recorrido hay otro por delante?). En consecuencia, deduce que el movimiento es imposible.
El argumento de Zenón toma la siguiente forma:
El movimiento es una supertarea, porque la finalización del movimiento sobre cualquier distancia establecida implica un número infinito de pasos. Las supertareas son imposibles. Por lo tanto, el movimiento es imposible.
La mayoría de los filósofos posteriores rechazan la audaz conclusión de Zenón en favor del sentido común. En su lugar, dan vuelta a su argumento (asumiendo que es válido) y lo toman como una prueba por contradicción donde se da por sentada la posibilidad del movimiento. Aceptan la posibilidad del movimiento y aplican modus tollendo tollens (la contraposición lógica) al argumento de Zenón para llegar a la conclusión de que, o bien el movimiento no es una supertarea, o no todas las supertareas son imposibles.
Aquiles y la tortuga El propio Zenón también discutió la noción del problema que denominó "Aquiles y la tortuga". Supóngase que Aquiles es el corredor más rápido y se mueve a una velocidad de 1 m/s, mientras persigue a una tortuga, un animal conocido por ser lento, que se mueve a 0.1 m/s. Sin embargo, la tortuga comienza 0,9 metros más adelante. El sentido común parece mostrar que Aquiles alcanzará a la tortuga después de exactamente 1 segundo, pero Zenón sostiene que este no es el caso. En cambio, sugiere que Aquiles debe llegar inevitablemente al punto en el que comenzó la tortuga, pero para cuando haya logrado esto, la tortuga ya habrá pasado a otro punto. Esto continúa, y cada vez que Aquiles alcanza la marca donde estaba la tortuga, la tortuga habrá alcanzado un nuevo punto con el que Aquiles tendrá que ponerse al día; mientras comienza con 0.9 metros, se convierte en 0.09 metros adicionales, luego 0.009 metros, y así sucesivamente, infinitamente. Si bien estas distancias llegarán a ser muy pequeñas, seguirán siendo finitas, mientras que la persecución de Aquiles de la tortuga se convertirá en una supertarea sin fin. Históricamente, se han hecho muchos comentarios sobre esta paradoja en particular; y se ha llegado a afirmar que pone de manifiesto una laguna en el sentido común.
Thomson James F. Thomson creyó que el movimiento no era una supertarea, y negó enfáticamente que las supertareas sean posibles. La prueba que Thomson ofreció a la última afirmación involucra lo que probablemente se ha convertido en el ejemplo más famoso de supertarea desde Zenón. La lámpara de Thomson puede estar encendida o apagada. En el momento t = 0, la lámpara está apagada, en el momento t = 1/2 está encendida, en el tiempo t = 3/4 (= 1/2 + 1/4) está apagada, en t = 7/8 (= 1 / 2 + 1/4 + 1/8) está encendida, etc. Surge la pregunta natural: en t = 1, ¿está encendida o apagada la lámpara? No parece haber ninguna forma no arbitraria de decidir esta cuestión. Thomson va más allá y afirma que esto es una contradicción. Sostiene que la lámpara no puede estar encendida porque nunca hubo un punto en el que no estaba apagada inmediatamente. Y de manera similar, afirma que no se puede apagar porque nunca hubo un punto en el que no se encendió de inmediato. Según el razonamiento de Thomson, la lámpara no está encendida ni apagada, pero, de acuerdo con las reglas del problema, debe estar encendida o apagada, lo que implica una contradicción. Thomson por lo tanto opina que las supertareas son imposibles.
Benacerraf Paul Benacerraf piensa que las supertareas son al menos lógicamente posibles a pesar de la aparente contradicción de Thomson. Benacerraf está de acuerdo con Thomson en la medida en que el experimento que él describió no determina el estado de la lámpara en t = 1. Sin embargo, no está de acuerdo con Thomson en que se pueda derivar una contradicción de esto, ya que el estado de la lámpara en t = 1 no es necesario que esté determinado lógicamente por los estados anteriores. La implicación lógica no impide que la lámpara se encienda, apague o desaparezca por completo para ser reemplazada por una calabaza tirada por un caballo. Hay mundos posibles en los que se enciende la lámpara de Thomson, y mundos en los que está apagada, sin mencionar muchos otros en los que suceden cosas raras y maravillosas en t = 1. La aparente arbitrariedad surge del hecho de que el experimento de Thomson no contiene suficiente información para determinar el estado de la lámpara en t = 1, más o menos como no se puede encontrar nada en la obra de Shakespeare para determinar si Hamlet era zurdo o diestro. Entonces, ¿qué pasa con la contradicción? Benacerraf demostró que Thomson había cometido un error. Cuando afirmaba que la lámpara no podía estar encendida porque nunca estaba encendida sin apagarse de nuevo, se aplicaba solo a instantes de tiempo "estrictamente menores que 1". No se aplica a 1 porque 1 no aparece en la secuencia {0, 1/2, 3/4, 7/8, ...} mientras que el experimento de Thomson solo especificaba el estado de la lámpara para los tiempos de esta secuencia.
Literatura moderna La mayor parte de la literatura moderna proviene de los descendientes de Benacerraf, quienes tácitamente aceptan la posibilidad de supertareas. Los filósofos que defienden su imposibilidad no tienden a hacerlo por los mismos motivos que Thomson, sino porque tienen reparos con la noción misma del infinito. Por supuesto que hay excepciones. Por ejemplo, McLaughlin afirma que la lámpara de Thomson es inconsistente si se analiza con teoría de conjuntos interna, una variante del análisis real.
Filosofía de las matemáticas Si las supertareas son posibles, entonces la verdad o falsedad de proposiciones desconocidas de la teoría de los números, como la conjetura de Goldbach, o incluso las proposiciones de indecidibilidad podrían determinarse en un tiempo finito mediante una búsqueda de fuerza bruta del conjunto de todos los números naturales. Sin embargo, esto estaría en contradicción con la tesis de Church-Turing. Algunos han argumentado que esto plantea un problema para el intuicionismo, ya que el intuicionista debe distinguir entre cosas que de hecho no se pueden probar (porque son demasiado largas o complicadas; por ejemplo, la "Curiosa Inferencia" de George BoolosGeorge Boolos. "A curious inference". Journal of Philosophical Logic 16: 1–12. (JSTOR)), pero no obstante, se consideran "demostrables", y aquellas que "son" demostrables mediante fuerza bruta infinita en el sentido anterior.
Posibilidad física También se argumenta que la lámpara de Thomson es físicamente imposible, ya que debe tener partes moviéndose a velocidades más rápidas que la velocidad de la luz (por ejemplo, el interruptor de la lámpara). Adolf Grünbaum sugiere que la lámpara podría tener una tira de cable que, cuando se levanta, interrumpe el circuito y apaga la lámpara; esta tira podría levantarse una distancia más pequeña cada vez que se apague la lámpara, manteniendo una velocidad constante. Sin embargo, tal diseño finalmente fallaría, ya que eventualmente la distancia entre los contactos sería tan pequeña como para permitir que los electrones saltasen la brecha, evitando que el circuito se interrumpiera.
Se han sugerido otras supertareas físicamente posibles. En una propuesta, una persona (o entidad) cuenta hacia arriba desde 1, tomando una cantidad de tiempo infinita, mientras que otra persona observa esto desde un marco de referencia donde ocurre esto en un espacio de tiempo finito. Para el contador, esto no es una supertarea, pero para el observador, lo es. (Esto podría ocurrir teóricamente debido a dilatación del tiempo, por ejemplo, si el observador caía en un agujero negro mientras observaba un contador cuya posición está fija en relación con la singularidad).
Davies en su artículo "Construyendo máquinas infinitas" inventó un dispositivo que, según él, es físicamente posible hasta la infinita divisibilidad. Se trata de una máquina que crea una réplica exacta de sí misma, pero tiene la mitad de su tamaño y el doble de velocidad. Aun así, ya sea para un humano o cualquier dispositivo, para percibir o actuar sobre el estado de la lámpara, es necesario realizar alguna medición, por ejemplo, la luz de la lámpara tendría que alcanzar un ojo o un sensor. Cualquier medida de este tipo implicará un marco de tiempo fijo, sin importar qué tan pequeña sea, y por lo tanto, en algún punto la medición del estado será imposible. Dado que el estado en t = 1 no se puede determinar incluso en principio, no tiene sentido hablar de que la lámpara esté encendida o apagada.
Gustavo E. Romero en el documento 'El colapso de las supertareas' sostiene que cualquier intento de llevar a cabo una supertarea se traducirá en la formación de un agujero negro, haciendo que las supertareas sean físicamente imposibles.
Super máquinas de Turing
El impacto de las supertareas en la ciencia de la computación teórica ha desencadenado algunos trabajos nuevos e interesantes, por ejemplo, la obra de Hamkins y Lewis "Infinite Time Turing Machine".
Supertareas notables La paradoja de Ross-Littlewood
Supóngase que hay un jarrón capaz de contener infinitas canicas y una colección infinita de canicas etiquetadas 1, 2, 3, etc. En el momento t = 0, las canicas 1 a 10 se colocan en el frasco y la canica 1 se retira. En t = 0.5, las canicas 11 a 20 se colocan en el jarrón y la canica 2 se saca; en t = 0.75, las canicas 21 a 30 se colocan en el jarrón y la canica 3 se retira; y en general, en el momento t = 1 - 0.5n, las canicas 10n + 1 a 10n + 10 se colocan en el frasco y la canica n + 1 se saca. ¿Cuántas canicas hay en el frasco en el momento t = 1?
Un argumento establece que debería haber infinitas canicas en el frasco, porque en cada paso antes de t = 1, el número de canicas aumenta con respecto al paso anterior y lo hace de manera ilimitada. Un segundo argumento, sin embargo, muestra que el frasco está vacío. Considere el siguiente argumento: si el frasco no está vacío, debe haber una canica en el frasco. Digamos que esa canica está etiquetada con el número n. Pero en el momento t = 1 - 0.5(n - 1), la canica n ha sido retirada, por lo que la canica n no puede estar en el jarrón. Esto es una contradicción, por lo que el jarrón debe estar vacío. La paradoja de Ross-Littlewood es que aquí se dispone de dos argumentos aparentemente perfectos con conclusiones completamente opuestas.