mini|300px| Ejemplo de curva unicursal: el folium de Descartes

En matemáticas, más precisamente en geometría, un curva plana se llama unicursal, o racional si admite un parametrización de modo que sus coordenadas e sean ambas fracciones racionales del parámetro.

Ejemplos

Recta

Una recta es unicursal, ya que admite una representación paramétrica de la forma

donde son las coordenadas de un punto de la línea, y es un vector director de la recta.

Circunferencia Una circunferencia es unicursal. Cuando tiene su centro en el origen de coordenadas y radio 1, tiene la siguiente representación paramétrica:

De hecho, la imagen de esta función no es la circunferencia completa, ya que carece del punto de coordenadas . Pero se admite que este punto es la imagen del por representación paramétrica. Este es un ejemplo de compacidad de Alexandrov de .

Hipérbola

Las secciones cónicas no degeneradas también son unicursales. Por ejemplo, la parametrización racional de una hipérbola:

Curvas cúbicas

Caracterización

En particular, una curva elíptica no es unicursal.

Ejemplos

Curva cúbica nodal

El folium de Descartes tiene representación paramétrica

El punto doble es el origen de coordenadas, obtenido para y para .

En general, los estrofoides son unicursales.

Curvas cúbicas cuspidales La cisoide de Diocles admite la representación paramétrica

Es incluso más que racional, ya que e son incluso polinomios de

Cuárticas Un ejemplo de una curva cuártica unicursal es la lemniscata de Bernoulli, cuya ecuación paramétrica es

Algebraicidad

Proposición Al eliminar entre e , cualquier curva unicursal es algebraica.

Recíproco Una curva algebraica no es necesariamente unicursal. Es así solo si su género es 0.

Ejemplo Se puede demostrar que la curva afín del plano de ecuación es de género 0. Por lo tanto, es unicursal y admite una parametrización racional, por ejemplo:

con

Contraejemplos Cónicas: una cónica degenerada no es unicursal. Por ejemplo, la 'curva' de la ecuación no tiene una representación paramétrica racional (una función de que toma solo los valores 1 y -1 no puede ser racional). Sin embargo, esta cónica degenerada consta de dos componentes, las dos líneas de ecuación y , que son unicursales por separado.

Cúbicas: las curvas cúbicas sin puntos dobles no son unicursales. De hecho, su género es 1. Por el contrario, una cúbica que tiene un punto doble es de género 0.

Aplicaciones

Puntos de coordenadas racionales Si (por ejemplo, si es un número entero), las coordenadas y son en sí mismas racionales. Por lo tanto, se puede usar la representación paramétrica de una curva unicursal para obtener puntos con coordenadas racionales de esta.

Ejemplo: la búsqueda de puntos con coordenadas racionales en el círculo de radio unidad (véase arriba) está vinculada a la de la terna pitagórica. Con , se tiene

donde se localiza el triplete .

Nomogramas

John Clark Brixey usó representaciones paramétricas racionales del círculo y del folium de Descartes para crear nomogramas de la multiplicación (círculo graduado de doble entrada, con una recta graduada, y el folium triplemente graduado).

Referencias

Categoría:Curvas