thumb|250px|Matemáticas en el arte: grabado en placa de cobre de Alberto Durero Melancolía I, 1514. Las referencias matemáticas incluyen una brújula para la geometría, un cuadrado mágico y un romboedro truncado, mientras que la medición está indicada por las escalas y el reloj de arena. thumb|250px|Dibujo alámbrico de un vaso como sólido de revolución, obra de Paolo Uccello. Siglo XV
Las matemáticas y el arte están relacionados de varias maneras. De hecho, es frecuente encontrar las matemáticas descritas como un arte debido a la belleza o la elegancia de muchas de sus formulaciones, y se puede encontrar fácilmente su presencia en manifestaciones como la música, la danza, la pintura, la arquitectura, la escultura y las artes textiles.
Este artículo se centra en la influencia de las matemáticas en las artes visuales.
Las matemáticas y el arte tienen una larga relación histórica. Está documentada la existencia de artistas matemáticos desde el , cuando el escultor griego Policleto escribió su "Canon", prescribiendo proporciones basadas en la relación 1: para el desnudo masculino ideal. Curiosamente, cada vez son más frecuentes presuntas evidencias del uso del número áureo en el arte y la arquitectura antiguos, sin bases fiables que respalden estas teorías. En el Renacimiento italiano, Luca Pacioli escribió el influyente tratado De divina proportione (1509), ilustrado con grabados en madera realizados por Leonardo da Vinci, sobre el uso de la proporción áurea en el arte. Otro pintor italiano, Piero della Francesca, desarrolló las ideas de Euclides sobre la perspectiva en tratados como De Prospectiva Pingendi y en sus propias pinturas. El grabador Alberto Durero efectuó numerosas referencias a las matemáticas en su obra, con trabajos como Melancolía I. En los tiempos modernos, el artista gráfico M. C. Escher hizo un uso intensivo del teselado y de la geometría hiperbólica con la ayuda del matemático Harold Scott MacDonald Coxeter, mientras que el movimiento De Stijl liderado por Theo van Doesburg y Piet Mondrian abarcó explícitamente las formas geométricas. Las matemáticas han inspirado las artes textiles tales como el quilting, el punto, el punto de cruz, el ganchillo, el bordado, la tejeduría, las alfombras y otras creaciones como el kilim. En el arte islámico, las simetrías son evidentes en formas tan variadas como el girih persa y el azulejo zellige marroquí, las pantallas mogolas jali de piedra perforada y las bóvedas decoradas con mocárabe.
El influjo directo de las matemáticas sobre el arte se evidencia en el uso de herramientas conceptuales como la perspectiva, el análisis de la simetría y en la presencia en diversas obras de objetos matemáticos que han ejercido una especial atracción sobre artistas de distintas épocas, como los poliedros o la banda de Möbius. Magnus Wenninger creó poliedros estrellados coloridos, originalmente como modelos para la enseñanza.
Conceptos matemáticos como recursión y paradojas lógicas se pueden ver en las pinturas de René Magritte y en grabados de M. C. Escher. El arte computacional a menudo hace uso de fractales, incluido el conjunto de Mandelbrot, y, a veces, explora otros objetos matemáticos como los autómatas celulares. De forma controvertida, ligando la óptica con la pintura, el artista David Hockney ha argumentado que desde el Renacimiento en adelante la mayoría de los artistas utilizaron la cámara lúcida para dibujar representaciones precisas de escenas; y el arquitecto Philip Steadman argumentó de manera similar que Johannes Vermeer usó la cámara oscura en la composición de sus pinturas.
Otras relaciones incluyen el análisis algorítmico de las obras de arte mediante la fluorescencia de rayos X, o el hallazgo de que los batik tradicionales de diferentes regiones de la isla de Java tienen composiciones fractales. El arte ha servido en ocasiones como estímulo para la investigación matemática, especialmente en el caso de la teoría de la perspectiva de Filippo Brunelleschi, que finalmente llevó a Girard Desargues al desarrollo de la geometría proyectiva. Una visión persistente, basada en última instancia en la noción pitagórica de armonía en la música, sostiene que el universo está organizado según relaciones numéricas, que Dios es el geómetra del mundo y que, por lo tanto, la geometría es sagrada, tal como queda reflejado en obras de arte como El anciano de los días de William Blake.
Orígenes: desde la antigua Grecia hasta el Renacimiento
Canon y simetría de Policleto thumb|upright=0.6|Copia romana en mármol del Doríforo, originalmente un bronce obra de Policleto
Policleto el mayor (c. 450–420 a. C.) fue un escultor griego de la escuela de Argos, contemporáneo de Fidias. La temática de sus estatuas de bronce consistía principalmente en atletas. Según el filósofo y matemático Jenócrates, Policleto está clasificado como uno de los escultores más importantes de la antigüedad clásica por su trabajo en el Doríforo y en la estatua de Hera en el Hereo de Argos. Mientras que sus esculturas pueden no ser tan famosas como las de Fidias, también son muy admiradas. En su "Canon", un tratado que escribió para documentar las proporciones "perfectas" de la anatomía del desnudo masculino, Policleto introdujo un enfoque matemático para esculpir el cuerpo humano.
Utilizaba la longitud de la falangeta del meñique de la mano como el módulo básico para determinar las proporciones del cuerpo humano. Policleto multiplicaba la longitud de la falangeta por la raíz cuadrada de dos () para obtener la distancia de la segunda falange (falangina) y multiplicaba la longitud nuevamente por para obtener la longitud de la tercera falange. A continuación, tomaba la longitud del meñique y la multiplica por para obtener la longitud de la palma desde la base del dedo hasta el cúbito. Esta serie geométrica de medidas avanza hasta formar el brazo, el tórax y el cuerpo completo con todas sus partes.
La influencia del "Canon" de Policleto es inmensa en la escultura de la antigua Grecia, Roma y el Renacimiento, y numerosos escultores siguieron sus prescripciones. Si bien no se conserva ninguna de las obras originales de Policleto, las copias romanas muestran su ideal de perfección física y precisión matemática. Algunos estudiosos argumentan que el pensamiento pitagórico influyó en el "Canon" de Policleto, donde se aplican los conceptos matemáticos básicos de la geometría griega, como la relación, la proporción y la simetría (en griego significa "armonía en las proporciones") y los convierte en un sistema capaz de describir la forma humana a través de una serie de progresiones geométricas continuas.
Perspectiva y proporción
thumb|Experimento de Brunelleschi sobre la perspectiva
En la antigüedad clásica, en lugar de ajustar el tamaño de las figuras de una composición de acuerdo con su distancia al observador (según las reglas de la perspectiva), los pintores establecían el tamaño de objetos y figuras según su importancia temática. En la Edad Media, algunos artistas usaron la perspectiva invertida para dar un énfasis especial a determinados motivos. El matemático musulmán Alhacén (Ibn al-Haytham) describió una teoría geométrica de la óptica en su "Libro de Óptica" en 1021, pero nunca la aplicó al arte. El Renacimiento vio el resurgir de las ideas griegas y romanas clásicas en la cultura, incluido el estudio de las matemáticas para comprender la naturaleza y el arte. Dos motivos principales llevaron a los artistas de finales de la Edad Media y del Renacimiento hacia las matemáticas: en primer lugar, los pintores necesitaban descubrir cómo representar escenas tridimensionales en un lienzo bidimensional; y en segundo lugar, tanto los filósofos como los artistas estaban convencidos de que las matemáticas eran la verdadera esencia del mundo físico y que todo el universo, incluidas las artes, podía explicarse en términos geométricos.
Los rudimentos de la perspectiva llegaron con Giotto (1266/7-1337), que intentó dibujar en perspectiva utilizando un método algebraico para determinar la ubicación de las líneas distantes. En 1415, el arquitecto italiano Filippo Brunelleschi y su amigo Leon Battista Alberti demostraron en Florencia el método geométrico necesario para aplicar la perspectiva, utilizando el principio de semejanza tal como lo formuló Euclides para determinar la altura aparente de objetos distantes. Aunque se han perdido las pinturas en perspectiva de Brunelleschi, los frescos de Masaccio de la Santísima Trinidad muestra sus principios en funcionamiento.
thumb|left|upright=1.2|Paolo Uccello utilizó la perspectiva de forma innovadora en la Batalla de San Romano (c. 1435–1460)
El pintor italiano Paolo Uccello (1397-1475) estaba fascinado por la perspectiva, como se muestra en sus pinturas de la Batalla de San Romano (c. 1435–1460): las lanzas rotas convergen convenientemente según líneas de perspectiva.
El pintor Piero della Francesca (c. 1415–1492) ejemplificó este nuevo cambio en el pensamiento del Renacimiento italiano, aunando su condición de artista con la de experto matemático y geómetra, autor de libros sobre la geometría del espacio y la perspectiva, incluyendo De Prospectiva pingendi (Sobre la perspectiva para pintar), Trattato d'Abaco (Tratado del Ábaco), y De corporibus regularibus (Sobre los Sólidos Regulares).
El historiador Giorgio Vasari en su obra Las vidas de los más excelentes arquitectos, pintores y escultores italianos llama a Piero el "geómetra más grande de su tiempo, o quizás de cualquier época". El interés de Piero della Francesca por la perspectiva se puede ver en sus pinturas, incluyendo el Políptico de San Antonio, el Retablo de San Agostino y Cristo en la columna. Su trabajo sobre geometría influyó en matemáticos y artistas posteriores, incluido Luca Pacioli en su obra De divina proportione y sobre Leonardo da Vinci. Estudió matemáticas clásicas y los trabajos de Arquímedes, y aprendió aritmética comercial en "escuelas del ábaco". El formato de sus escritos recuerda al de los libros de texto de la escuela del ábaco, siguiendo muy posiblemente el estilo del influyente Liber abaci, publicado en 1202 por Leonardo de Pisa (Fibonacci). La irrupción de la perspectiva lineal en el mundo artístico ya era un hecho. Alberti explicó en su tratado de 1435 De pictura que: "Los rayos de luz viajan en línea recta desde los puntos en la escena observada hasta el ojo, formando una especie de pirámide con el ojo como vértice". Una pintura construida mediante la perspectiva lineal es una sección transversal de esa pirámide.
En "De Prospectiva Pingendi", Piero transformó sus observaciones empíricas de la forma en que los aspectos de una figura cambian con el punto de vista en pruebas matemáticas. Su tratado parte del trabajo de Euclides: define el punto como "la cosa más pequeña que es posible que el ojo comprenda".En el italiano de Piero della Francesca: "Una cosa tanto picholina quanto e possible ad ochio comprendere" Utiliza el razonamiento deductivo para guiar al lector a la representación en perspectiva de un cuerpo tridimensional.
El artista David Hockney argumentó en su libro Conocimiento secreto: redescubriendo las técnicas perdidas de los antiguos maestros que los artistas comenzaron a usar una cámara lúcida a partir de la década de 1420, lo que dio como resultado un cambio repentino en la precisión y en el realismo, y que esta práctica fue continuada por los principales artistas, incluidos Ingres, Van Eyck y Caravaggio. Los críticos no se ponen de acuerdo en si la tesis de Hockney es correcta. Del mismo modo, el arquitecto Philip Steadman argumentó de manera controvertida que Johannes Vermeer había usado un dispositivo diferente, una cámara oscura, para ayudarle a crear sus pinturas con su distintiva forma de observación de los motivos representados.
mini|200px|Rombicuboctaedro hueco en perspectiva, obra de Leonardo