En matemática, el teorema de Gelfond-Schneider es un resultado que establece la trascendencia de una gran clase de números. Fue probado originalmente por Alexander Gelfond y de nuevo de forma independiente por Theodor SchneiderTheodor Schneider in zbMATH Open en 1934. El teorema de Gelfond–Schneider es una respuesta al séptimo problema de Hilbert.
Enunciado
Si y son números algebraicos en el cuerpo de los números complejos (siendo ), y si no es un número racional, entonces cualquier valor de αβ es un número trascendente.
Comentarios
En general, es multivaluada, donde "log" es el logaritmo complejo. Ésta es la razón de la expresión "cualquier valor de" en el enunciado. La siguiente es una formulación equivalente del teorema: si y son números algebraicos diferentes de cero, y , entonces es (real) racional o trascendente. Si se elimina la restricción de que sea algebraica, el enunciado no será cierto en el caso general (escójanse y , que es trascendente, y , que es algebraico). No se conoce una caracterización de los valores de α y β que produzca un αβ trascendente.
Uso del teorema
Se deriva inmediatamente del teorema la trascendencia de los siguientes números:
(la constante de Gelfond-Schneider) y (constante de Gelfond), dado que .
Véase también
Teorema de Lindemann–Weierstrass Conjetura de Schanuel; si se demostrase, implicaría tanto el teorema de Gelfond-Schneider como el de Lindemann-Weierstrass
Referencias
Sur le septième problème de D. Hilbert. (Russian, French) , de A. Gelfond, C. R. Acad. Sc. URSS (2) 2 (1934), pp. 1-6. (zbMATH Open)
Irrational Numbers, de Ivan Niven; Mathematical Association of America; ISBN 0-88385-011-7, 1956. (zbMATH Open)
Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen. I. Transzendenz von Potenzen. (German) , de Theodor Schneider, J. Reine Angew. Math. 172 (1934), pp. 65-69. (zbMATH Open)
Enlaces externos
Notas
Gelfond schneider Categoría:Números trascendentes Gelfond-Schneider