miniaturadeimagen| Flujo en el espacio de fase especificado por la ecuación diferencial de un péndulo. En el eje x, la posición del péndulo, y en el y su velocidad. |299x299px En matemáticas, un flujo formaliza la idea del movimiento de las partículas en un fluido. Los flujos son omnipresentes en la ciencia, incluida la ingeniería y la física. La noción de flujo es básica para el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias. De manera informal, un flujo puede verse como un movimiento continuo de puntos a lo largo del tiempo. Más formalmente, un flujo es una acción grupal de los números reales en un conjunto.

La idea de un flujo vectorial, es decir, el flujo determinado por un campo vectorial, se produce en las áreas de topología diferencial, geometría riemanniana y grupos de Lie. Los ejemplos específicos de flujos vectoriales incluyen el flujo geodésico, el flujo hamiltoniano, el flujo de Ricci, el flujo de curvatura media y el flujo de Anosov. Los flujos también pueden definirse para sistemas de variables aleatorias y procesos estocásticos, y ocurren en el estudio de sistemas dinámicos ergódicos. El más célebre de estos es quizás el flujo de Bernoulli.

Definición formal Un flujo en un conjunto es una acción grupal del grupo aditivo de números reales en . Más explícitamente, un flujo es un mapeo

de modo que, para todas las ∈ y todos los números reales y ,

Es habitual para escribir en lugar de de manera que las ecuaciones anteriores se pueden expresar como (función de identidad ) y (ley grupo ). Entonces, para todo el mapeo es una biyección con inversa Esto se desprende de la definición anterior, y el parámetro real puede tomarse como una potencia funcional generalizada, como en la iteración de la función.

Por lo general, se requiere que los flujos sean compatibles con las estructuras proporcionadas en el conjunto . En particular, si está equipada con una topología, generalmente se requiere que sea continua. Si está equipado con una estructura diferenciable, generalmente se requiere que sea diferenciable. En estos casos, el flujo forma un subgrupo de parámetros de homeomorfismos y difeomorfismos, respectivamente.

En ciertas situaciones, también se podrían considerar flujos locales, que se definen solo en algunos subconjuntos.

llamado el dominio de flujo de . Este es a menudo el caso de los flujos de campos vectoriales.

Notaciones alternativas Es muy común en muchos campos, incluidos la ingeniería, la física y el estudio de ecuaciones diferenciales, usar una notación que hace que el flujo sea implícito. Por lo tanto, se escribe para , y se podría decir que la "variable depende del tiempo y la condición inicial ".

En el caso de un flujo de un campo vectorial en una variedad diferenciable , el flujo a menudo se denota de tal manera que su generador se hace explícito. Por ejemplo,

Órbitas Dado en , el conjunto se llama la órbita de debajo de . De manera informal, se puede considerar como la trayectoria de una partícula que inicialmente se colocó en . Si el flujo es generado por un campo vectorial, entonces sus órbitas son las imágenes de sus curvas integrales.

Ejemplos

Sistemas autónomos de ecuaciones diferenciales ordinarias Sea un campo vectorial (independiente del tiempo) la solución del problema del valor inicial

Entonces es el flujo del campo vectorial F. Es un flujo local bien definido siempre que el campo vectorial sea continuo de Lipschitz. Entonces también es Lipschitz-continuo donde se define. En general, puede ser difícil demostrar que el flujo está definido globalmente, pero un criterio simple es que el campo vectorial F es compatible de manera compacta.

Ecuaciones diferenciales ordinarias dependientes del tiempo En el caso de campos vectoriales dependientes del tiempo , uno denota , donde es la solución de

Entonces es el flujo dependiente del tiempo de F. No es un "flujo" según la definición anterior, pero puede verse fácilmente como uno al reorganizar sus argumentos. A saber, el mapeo.

De hecho satisface la ley de grupo para la última variable:

Uno puede ver los flujos de campos vectoriales dependientes del tiempo como casos especiales de los independientes del tiempo mediante el siguiente truco. Definir

Entonces y ( t ) es la solución del problema del valor inicial "independiente del tiempo"

si y solo si es la solución del problema del valor inicial original dependiente del tiempo. Además, entonces el mapeo es exactamente el flujo del campo vectorial G "independiente del tiempo".

Flujos de campos vectoriales en variedades Los flujos de campos vectoriales independientes del tiempo y dependientes del tiempo se definen en variedades lisas exactamente como se definen en el espacio euclidiano y su comportamiento local es el mismo. Sin embargo, la estructura topológica global de una variedad uniforme se manifiesta fuertemente en el tipo de campos vectoriales globales que puede soportar, y los flujos de campos vectoriales en variedades suaves son de hecho una herramienta importante en la topología diferencial. La mayor parte de los estudios en sistemas dinámicos se llevan a cabo en variedades lisas, que se consideran como "espacios de parámetros" en las aplicaciones.

Soluciones de ecuación de calor Sea un subdominio (limitado o no) de ℝ n (con un número entero). Indica por su límite (supuesto suave). Considere la siguiente ecuación de calor en × (0, ), para > 0,

con la siguiente condición de límite inicial en .

La ecuación = 0 en corresponde a la condición de límite de Dirichlet homogénea. La configuración matemática para este problema puede ser el enfoque de semigrupo. Para utilizar esta herramienta, presentamos el operador ilimitado definido en por su dominio

(ver los espacios clásicos de Sobolev con y

es el cierre de las funciones infinitamente diferenciables con soporte compacto en para el normal).

Para cualquier , tenemos

Con este operador, la ecuación de calor se convierte en y . Por lo tanto, el flujo correspondiente a esta ecuación es (ver las anotaciones anteriores)

donde es el semigrupo (analítico) generado por

Soluciones de ecuación de onda Nuevamente, sea un subdominio (limitado o no) de ℝ n (con un número entero). Denotamos por su límite (supuesto suave). Considere la siguiente ecuación de onda en (para > 0),

con la siguiente condición inicial in y .

Usando el mismo enfoque de semigrupo que en el caso de la Ecuación de Calor anterior. Escribimos la ecuación de onda como una ecuación diferencial parcial de primer orden en el tiempo mediante la introducción del siguiente operador ilimitado,

con dominio en (el operador se define en el ejemplo anterior).

Introducimos los vectores de columnas.

(donde y ) y

.

Con estas nociones, la ecuación de onda se convierte en y .

Por lo tanto, el flujo correspondiente a esta ecuación es donde es el semigrupo (unitario) generado por .

Flujo de Bernoulli Los sistemas dinámicos ergódicos, es decir, los sistemas que exhiben aleatoriedad, también exhiben flujos. El más célebre de estos es quizás el flujo de Bernoulli. El teorema del isomorfismo de Ornstein establece que, para cualquier entropía dada, existe un flujo , llamado el flujo de Bernoulli, de modo que el flujo en el tiempo = 1, es decir , , es un cambio de Bernoulli.

Además, este flujo es único, hasta una escala de tiempo constante. Es decir, si es otro flujo con la misma entropía, entonces , para alguna constante . La noción de singularidad e isomorfismo aquí es la del isomorfismo de los sistemas dinámicos. Muchos sistemas dinámicos, incluidos los billares de Sinai y los flujos de Anosov, son isomorfos a los cambios de Bernoulli.

Véase también

Ecuación de Abel Función iterada Ecuación de Schröder Composiciones infinitas de funciones analíticas

Referencias

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Categoría:Sistemas dinámicos