En matemática, la conjetura jacobiana es un problema famoso en polinomios en varias variables. Fue planteada por primera vez en 1939 por Ott-Heinrich Keller. Fue ampliamente difundida por Shreeram Abhyankar, como un ejemplo de una cuestión en el área de geometría algebraica que requiere un poco más allá de conocimiento de cálculo para formularla.
La conjetura jacobiana es notoria por el gran número de intentos de demostraciones que contienen errores sutiles. Hasta el 2018, no hay afirmaciones verosímiles de haberla probado. Incluso en el caso bidimensional ha resistido todos los esfuerzos. No se conocen razones convincentes para creer que sea verdad, y de acuerdo a Van den Essen, Arno (1997), hay algunas sospechas que la conjetura es de hecho falsa para varias variables. La conjetura jacobiana es el problema n.º 16 en la lista de Problemas Matemáticos para el Próximo Siglo establecida por Stephen Smale en 1998.
El 19 de julio de 2026, Levent Alpöge, empleado de Anthropic y matemático, presentó un contraejemplo explícito en el espacio tridimensional, descubierto mediante Claude Fable 5, el modelo de lenguaje de Anthropic, que refuta la conjetura para . Para el caso especial , la conjetura sigue siendo un problema sin resolver en julio de 2026, mientras que para se puede demostrar trivialmente.
El determinante jacobiano Sea un entero fijo y considere los polinomios en las variables con coeficientes en un cuerpo . Entonces definimos la función como . El determinante jacobiano de , denotado por , se define como el determinante de la matriz jacobiana consistente de las derivadas parciales de con respecto a las variables :
, entonces es en sí mismo una función polinómica con respecto a las variables
Formulación de la conjetura De la regla de la cadena multivariable se desprende que, si tiene una función inversa polinómica entonces tiene un polinomio recíproco, así que es una constante distinta de cero. La conjetura jacobiana establece un resultado converso de lo expresado anteriormente:
Conjetura jacobiana: si es una constante distinta de cero y tiene característica cero, entonces tiene una función inversa la cual también tiene componentes polinomiales. Referencias
Categoría:Geometría algebraica Categoría:Conjeturas matemáticas Categoría:Polinomios Categoría:Problemas no resueltos de geometría