La trigonometría racional es una reformulación de la métrica del plano y de la geometría del espacio (que incluye la trigonometría) propuesta por el matemático canadiense Norman J. Wildberger, profesor asociado de matemáticas en la Universidad de Nueva Gales del Sur. Sus ideas se exponen en su libro de 2005 "Divine Proportions: Rational Trigonometry to Universal Geometry" (Proporciones divinas: de la Trigonometría Racional a la Geometría Universal). Según la revista New Scientist, parte de su motivación para una alternativa a la trigonometría tradicional era evitar algunos problemas que afirma que ocurren cuando se usan series infinitas en matemáticas. La trigonometría racional evita el uso directo de funciones transcendentes como el seno y las funciones trigonométricas, sustituyéndolas por sus equivalentes al cuadrado."Infinity's end: Time to ditch the never-ending story?" by Amanda Gefter, New Scientist, 15 August 2013 Wildberger se inspira en los matemáticos anteriores a la teoría de conjuntos infinitos de Georg Cantor, como Carl Friedrich Gauss y Euclides, quienes asegura que eran mucho más cautelosos al usar conjuntos infinitos que los matemáticos modernos.For Wildberger's views on the history of infinity, see the Gefter New Scientist article, but also see Wildberger's History of Mathematics and Math Foundations lectures, University of New South Wales, circa 2009–2014 in more than 120 videos and lectures, available online @youtube Hasta la fecha, la trigonometría racional no se menciona en la literatura matemática convencional.
Enfoque La trigonometría racional sigue un enfoque basado en aplicar los métodos del álgebra lineal a los temas de geometría elemental (nivel de secundaria). El concepto de distancia se reemplaza por su valor al cuadrado (cuadranza) y la idea de ángulo se reemplaza por el valor al cuadrado de la proporción del seno usual (extensión) asociado a cualquier ángulo entre dos líneas. (El complementario de la extensión, conocido como cruce, también corresponde a una forma escalada del espacio prehilbertiano entre segmentos de línea tomados como vectores). Las tres leyes principales de la trigonometría, el teorema de Pitágoras, el teorema de los senos y el teorema del coseno, se dan en forma racional (con equivalencia a los valores al cuadrado) y se complementan con otras dos leyes: la fórmula de la cuadranza triple (que relaciona las cuadranzas de tres puntos colineales) y la fórmula de la extensión triple (relacionada con las extensiones de tres líneas concurrentes), dando las cinco leyes fundamentales del tema.
La trigonometría racional, por lo demás, se basa ampliamente en la geometría analítica cartesiana, con un punto definido como un par ordenado de números racionales
y una línea en la forma
una ecuación de primer grado general con coeficientes racionales , y .
Al evitar los cálculos que dependen de operaciones como la raíz cuadrada que dan solo distancias aproximadas entre puntos o funciones trigonométricas estándar (y sus inversas), dar solo polinomios truncados como aproximaciones de ángulos (o sus proyecciones), la geometría se vuelve completamente algebraica. En otras palabras, no se asume la existencia de soluciones en forma de números reales a los problemas, sino que los resultados se dan en el campo de los números racionales, su extensión algebraica o cuerpo finito. A continuación, se afirma, esto hace que muchos resultados clásicos de la geometría euclidiana se apliquen en forma racional (mediante análogos cuadráticos) sobre cualquier campo que no sea de característica dos.
El libro Proporciones divinas muestra la aplicación del cálculo utilizando funciones trigonométricas racionales, que incluyen cálculos de volumen tridimensional. También se ocupa de la aplicación de la trigonometría racional a situaciones que involucran elementos irracionales, como la prueba de que todos los sólidos platónicos tienen diferenciales racionales entre sus caras.Véase Divine Proportions para numerosos ejemplos de cálculo hecho con funciones trigonométricas racionales, así como también problemas que involucran la aplicación de la trigonometría racional a situaciones que contienen elementos irracionales.
Repercusión y crítica La trigonometría racional se menciona solo en un número modesto de publicaciones matemáticas, además de en los propios artículos y libros de Wildberger. Proporciones divinas fue descartada por el crítico Paul J. Campbell, quien escribió en el Mathematics Magazine de la Mathematical Association of America (MAA): "El autor afirma que esta nueva teoría requerirá 'menos de la mitad del tiempo habitual para aprender'; pero lo dudo, y aún tendría que estar conectado con los conceptos y la notación tradicionales".
El crítico William Barker, profesor Isaac Wing de Matemáticas en el Bowdoin College, que también escribió para el MAA, fue más aprobador: "«Proporciones divinas» es sin dudas una valiosa adición a la literatura matemática. Desarrolla cuidadosamente un pensamiento estimulante, inteligente, y un enfoque alternativo útil para la trigonometría y la geometría euclidiana. No sería sorprendente que algunos de sus métodos finalmente se filtren en el desarrollo estándar de estos temas. Sin embargo, a menos que haya un cambio inesperado en los puntos de vista aceptados de los fundamentos de las matemáticas, la trigonometría racional no muestra razones de peso para reemplazar a la teoría clásica".http://www.maa.org/publications/maa-reviews/divine-proportions-rational-trigonometry-to-universal-geometry
Amanda Gefter, de New Scientist, describió el enfoque de Wildberger como un ejemplo de finitismo. James Franklin en The Mathematical Intelligencer argumentó que el libro merecía una consideración cuidadosa.J. Franklin, Review of Divine Proportions, Mathematical Intelligencer 28 (3) (2006), 73-4.
Un análisis de Michael Gilsdorf de los mismos ejemplos de problemas trigonométricos utilizados por Wildberger en un artículo anterior, concluyó que una de las afirmaciones efectuadas (que la trigonometría racional toma menos pasos para resolver "la mayoría" de los problemas en comparación con los métodos clásicos) puede no ser cierta si es libre la selección de métodos que está disponible para la solución óptima de un problema; como usar la fórmula del área de Gauss para el área de un triángulo a partir de las coordenadas de sus vértices, o aplicar el caso especial del teorema de Stewart directamente a un triángulo con una mediana conocida. En cuanto a la pedagogía, y si las cantidades cuadráticas introducidas por la trigonometría racional ofrecen beneficios reales sobre el aprendizaje tradicional del sujeto, el autor hizo observaciones adicionales de que la trigonometría clásica no se basaba en el uso de series de Taylor para aproximar ángulos, sino en mediciones de la cuerda (dos veces el seno de un ángulo), y así, con una comprensión adecuada, los estudiantes podrían obtener ventajas del uso continuado de la medición lineal sin las incoherencias lógicas reclamadas cuando se introduce posteriormente la parametrización circular mediante el ángulo.https://web.maths.unsw.edu.au/~norman/papers/TrigComparison.pdf
Cuadranza
La cuadranza y la distancia (como su raíz cuadrada) miden la separación de puntos en el espacio euclidiano. Siguiendo el teorema de Pitágoras, la cuadranza de dos puntos y en un plano, se define como la suma de los cuadrados de las diferencias entre las coordenadas e de dos puntos:
La desigualdad triangular se expresa en trigonometría racional como .
Extensión
La extensión da una medida a la separación de dos líneas mediante una sola magnitud adimensional en el rango (de paralelo a perpendicular) para la geometría euclidiana. Reemplaza el concepto de (y tiene varias diferencias con) el ángulo discutido en la sección que figura a continuación. Las descripciones de la extensión pueden incluir:
Trigonométrica (la más elemental): es la relación senoidal entre las cuadranzas de un triángulo rectángulo (izquierda) y por lo tanto equivale al cuadrado del seno del ángulo. Al extender el lado para formar parte del diámetro unitario de un círculo y considerando triángulos semejantes (derecha), la extensión se mide por la longitud del segmento exterior, igual a la mitad (1 menos el coseno del doble del ángulo en ) y, por lo tanto, su verseno.
Vectorial: como una función racional de las direcciones relativas (o pendientes) de un par de líneas donde se encuentran.
Cartesiana: como una función racional de las tres coordenadas utilizadas para caracterizar dos vectores.
Álgebra lineal (del producto de punto): una función racional normalizada: el cuadrado del determinante de dos vectores (o un par de rectas que se intersecan) formando una matriz dividida por el producto de sus cuadranzas.
Cálculo de la extensión Trigonométrico Supóngase que dos líneas, y , se cruzan en el punto como se muestra a la derecha. Elíjase un punto en tal que sea el pie de la perpendicular desde a . En consecuencia, la extensión de es
Vector/pendiente (dos variables) Al igual que el ángulo, la extensión depende solo de las pendientes relativas de dos líneas (se eliminan los términos constantes) y es invariable bajo la traslación (es decir, se conserva cuando las líneas se mueven manteniéndose paralelas a sí mismas). Entonces, dadas dos rectas cuyas ecuaciones son
se pueden reescribir como dos rectas que se encuentran en el origen con ecuaciones
En esta posición, el punto satisface la primera ecuación y satisface la segunda y los tres puntos , y que forman la extensión darán tres cuadranzas:
La ley cruzada -véase más adelante- en términos de extensión es
que se convierte en:
Esto se simplifica en el numerador a , dando:
(Nota: es la expresión del cruce, el cuadrado del coseno de cualquier ángulo entre un par de rectas o vectores, que da su nombre a la ley cruzada).
Luego, usando la identidad de Brahmagupta
la expresión estándar para la extensión en términos de pendientes (o direcciones) de dos líneas se convierte en
En esta forma (y en su equivalente cartesiano que se muestra a continuación) una extensión es la relación de cuadranzas según el determinante de dos vectores (numerador) y el producto de sus cuadranzas (denominador).
Cartesiano (tres variables) Esto reemplaza a con , con y el origen , como el punto de intersección de dos líneas, con en el resultado anterior:
Extensión en comparación con el ángulo
A diferencia del ángulo, que puede definir una relación entre rayos que emanan de un punto, mediante una parametrización de la medida del arco, y donde un par de líneas se pueden considerar cuatro pares de rayos, formando cuatro ángulos, la extensión es fundamental en la trigonometría racional, que describe dos líneas mediante una sola medida de una función racional (véase arriba). Equivale al cuadrado del seno del ángulo correspondiente (y al verseno de la base de la cuerda del ángulo doble ), por lo que con esta notación la extensión de un ángulo y el propio ángulo son iguales.
Extensión Ángulo () Valor Cuadrantes Vueltas Radianes Grados sexagesimales Grados centesimales Unidad 0 0 0 0 0° 0g 30° g 45° 50g 60° g 1 1 90° 100g Rectas ortogonales 120° g 135° 150g 150° g 0 2 π 180° 200g
La extensión no es proporcional, sin embargo, a la separación entre líneas como sería el ángulo; con extensiones de 0, , , y 1 correspondientes a ángulos espaciados de forma desigual 0°, 30°, 45°, 60° y 90°.
En cambio, (recordando la propiedad suplementaria) dos extensiones iguales y de terminal común, determinan una tercera extensión, cuyo valor será una solución de la fórmula de la extensión triple para un triángulo (para tres rectas concurrentes) con extensiones , y :
dando el polinomio cuadrático (en ):
y soluciones
Esto es equivalente a la identidad trigonométrica:
de los ángulos , y de un triángulo, usando
para denotar un segundo polinomio extendido en .