En matemáticas, los polinomios de Jacobi (ocasionalmente llamados polinomios hipergeométricos) son una clase de polinomios ortogonales clásicos. Son ortogonales con respecto al peso en el intervalo . Los polinomios de Gegenbauer, y por lo tanto también los de Legendre, de Zernike y de Chebyshev, son casos especiales de los polinomios de Jacobi. La definición figura en IV.1; la ecuación diferencial en IV.2; la fórmula de Rodrigues formula aparece en IV.3; la función generadora IV.4; y la relación recurrente está en IV.5.
Los polinomios de Jacobi fueron introducidos por el matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi (1804-1851).
Definiciones
A través de la función hipergeométrica Los polinomios de Jacobi se definen a través de la función hipergeométrica de la siguiente manera: Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 22". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 561. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
donde es un símbolo de Pochhammer (para el factorial ascendente). En este caso, la serie para la función hipergeométrica es finita, por lo tanto, se obtiene la siguiente expresión equivalente:
La fórmula de Rodrigues La fórmula de Rodrigues da una definición equivalente: P.K. Suetin (2001) , "Jacobi_polynomials", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Si , entonces se reduce a los polinomios de Legendre:
Expresión alternativa para el argumento real Para x real, el polinomio de Jacobi puede escribirse alternativamente como
y para un número entero n
donde es la Función gamma.
En el caso especial de que las cuatro cantidades y son enteros no negativos, el polinomio de Jacobi se puede escribir como
La suma se extiende sobre todos los valores enteros de s para los cuales los argumentos de los factoriales no son negativos.
Propiedades básicas
Ortogonalidad Los polinomios de Jacobi satisfacen la condición de ortogonalidad
Como se define, no tienen una norma unitaria con respecto al peso. Esto se puede corregir dividiendo por la raíz cuadrada del lado derecho de la ecuación anterior, cuando .
Aunque no proporciona una base ortonormal, a veces se prefiere una normalización alternativa debido a su simplicidad:
Relación de simetría Los polinomios tienen la relación de simetría
por lo tanto, el otro valor terminal es
Derivadas La k-ésima derivada de la expresión explícita conduce a
Ecuación diferencial El polinomio de Jacobi es una solución de una ecuación diferencial lineal de segundo orden
Relaciones de recurrencia La relación de recurrencia para los polinomios de Jacobi de α, β fija es:
para n = 2, 3, ....
Dado que los polinomios de Jacobi se pueden describir en términos de la función hipergeométrica, las recurrencias de la función hipergeométrica dan recidivas equivalentes de los polinomios de Jacobi. En particular, las relaciones contiguas de Gauss corresponden a las identidades
Función de generación La función generadora de los polinomios de Jacobi está dada por
de donde
y la rama de la raíz cuadrada se elige para que R (z, 0) = 1.
Polinomios de Jacobi asintóticos Para x en el interior de , el término asintótico de para n grande viene dado por la fórmula de Darboux
donde
y el término "O" es uniforme en el intervalo [ε, π-ε] para cada ε > 0.
Los polinomios asintóticos de Jacobi cerca de los puntos ±1 vienen dados por la formula de Mehler-Heine
donde los límites son uniformes para z en un dominio delimitado.
Los polinomios asintóticos fuera de son menos explícitos.
Aplicaciones
Matriz D de Wigner La expresión () permite la expresión de la matriz D de Wigner djm’,m(φ) (para 0 ≤ φ ≤ 4π) en términos de polinomios de Jacobi:
Véase también Inecuación de Askey-Gasper Grandes polinomios q de Jacobi Polinomios continuos q de Jacobi Pequeños polinomios q de Jacobi Pseudo polinomios de Jacobi Proceso de Jacobi Polinomios de Gegenbauer Polinomios de Romanovski
Referencias
Lecturas relacionadas
Enlaces externos
Categoría:Polinomios ortogonales