thumb|300px|Una órbita elíptica de Kepler con una excentricidad de 0,7, una órbita parabólica de Kepler y una órbita de Kepler hiperbólica con una excentricidad de 1,3. La distancia al punto focal es una función del ángulo polar relativo a la línea horizontal según lo dado por la ecuación ()
En mecánica celeste, una órbita de Kepler (o también una órbita kepleriana) es la trayectoria de un cuerpo respecto a otro describiendo una elipse, parábola o hipérbola, inscritas en un plano orbital bidimensional en un espacio tridimensional (una órbita de Kepler también puede ser una trayectoria recta). En su cálculo solo se considera la atracción gravitacional puntual de dos cuerpos, despreciando las perturbaciones debidas a las interacciones gravitatorias con otros objetos, el arrastre atmosférico, la presión de radiación o que el cuerpo central no sea esférico entre otras simplificaciones. Se dice que es la solución de un caso especial del problema de los dos cuerpos, conocido como problema de Kepler. Como teoría en mecánica clásica, tampoco tiene en cuenta los efectos de la relatividad general. Las órbitas de Kepler pueden ser parametrizadas en seis elementos orbitales de varias maneras.
En la mayoría de las aplicaciones, se considera un gran cuerpo central, cuyo centro de masa se supone que es el centro de masas de todo el sistema. Por descomposición, las órbitas de dos objetos de masa similar se pueden describir como órbitas de Kepler alrededor de su centro de masas común, es decir, respecto a su baricentro.
Introducción
Desde tiempos antiguos hasta los siglos y , se creía que los movimientos de los planetas seguían caminos geocéntricos perfectamente circulares, tal como los enseñaban los antiguos filósofos griegos Aristóteles y Claudio Ptolomeo. Las variaciones en los movimientos de los planetas se explicaron mediante movimientos circulares más pequeños superpuestos sobre la trayectoria principal (véase epiciclo). A medida que las mediciones de los planetas se volvieron cada vez más precisas, se propusieron revisiones de la teoría. En 1543, Nicolás Copérnico publicó un modelo heliocéntrico del sistema solar, aunque todavía creía que los planetas viajaban en trayectorias perfectamente circulares centradas en el sol.Copernicus. pp 513–514
Johannes Kepler En 1601, Johannes Kepler dispuso de las exhaustivas y meticulosas observaciones de los planetas hechas por Tycho Brahe. Kepler pasaría los cinco años siguientes tratando de ajustar las observaciones del planeta Marte a varias curvas, y en 1609 publicó las dos primeras de sus tres leyes del movimiento planetario. La primera ley establece:
"La órbita de todos los planetas es una elipse con el sol en uno de sus focos".
De manera más general, la ruta de un objeto sometido a movimiento kepleriano también puede seguir una parábola o una hipérbola, que, junto con las elipses, pertenecen a un grupo de curvas conocido como cónicas. Matemáticamente, la distancia entre un cuerpo central y un cuerpo en órbita se puede expresar como:
dónde: es la distancia es el semieje mayor, que define el tamaño de la órbita es la excentricidad, que define la forma de la órbita es la anomalía verdadera, que es el ángulo entre la posición actual del objeto en órbita y la ubicación en la órbita en la que está más cerca del cuerpo central (llamada ápside), de acuerdo con la figura anterior. Alternativamente, la ecuación se puede expresar como:
Donde se llama semi anchura recta de la curva. Esta forma de la ecuación es particularmente útil cuando se trata de trayectorias parabólicas, para las cuales el semieje mayor es infinito.
Pese a desarrollar estas leyes a partir de las observaciones, Kepler nunca pudo idear una teoría física capaz de explicar estos movimientos.Bate, Mueller, White. pp 177–181
Isaac Newton Entre 1665 y 1666, Isaac Newton desarrolló varios conceptos relacionados con el movimiento, la gravitación y el cálculo diferencial. Sin embargo, estos conceptos no se publicaron hasta 1687 en los Principia, en los que describió sus leyes del movimiento y su ley de gravitación universal. La segunda de sus tres leyes del movimiento dice:
La aceleración de un cuerpo es paralela y directamente proporcional a la red fuerza que actúa sobre el cuerpo, se sitúa en la dirección de la fuerza neta, y es inversamente proporcional a la masa del cuerpo:
Donde: es el vector de la fuerza es la masa del cuerpo sobre la que está actuando la fuerza es el vector de la aceleración, la segunda derivada respecto al tiempo del vector de posición Estrictamente hablando, esta forma de la ecuación solo se aplica a un objeto de masa constante, y su validez está ligada a los supuestos simplificadores hechos a continuación.
thumb|right|300px|Ley de Newton de la gravitación universal: una masa puntual m1 atrae a otra masa puntual m2 con una fuerza F2 que es proporcional al producto de las dos masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia (r) entre ellas. Independientemente de las masas o la distancia, las magnitudes de |F1| y |F2 | siempre serán iguales y de signo contrario. G es la constante de gravitación universal.
La ley de gravitación de Newton dice:
Cada punto material atrae a cada otra masa puntual ejerciendo una fuerza dirigida según la recta que pasa por ambos puntos. La fuerza es proporcional al producto de las dos masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre las masas puntuales:
donde:
es la magnitud de la fuerza gravitacional entre las dos masas puntuales es la constante de gravitación universal es la masa del primer punto material es la masa del segundo punto material es la distancia entre las dos masas puntuales
A partir de las leyes del movimiento y la ley de la gravitación universal, Newton pudo deducir las leyes de Kepler, demostrando la coherencia entre la observación y la teoría. Las leyes de Kepler y Newton formaron la base de la mecánica celeste moderna hasta que Albert Einstein introdujo los conceptos de relatividad especial y general a principios del . Para la mayoría de las aplicaciones, el movimiento de Kepler se aproxima a los movimientos de los planetas y los satélites con un grado relativamente alto de precisión y se usa ampliamente en astronomía y astrodinámica.
Simplificación del problema de los dos cuerpos
Para resolver el movimiento de un objeto en un sistema de dos cuerpos, se pueden hacer dos suposiciones simplificadoras:
1. Los cuerpos son esféricamente simétricos y pueden tratarse como masas puntuales. 2. No hay fuerzas externas o internas que actúen sobre los cuerpos aparte de su gravitación mutua.
Las formas de los grandes cuerpos celestes están cerca de las esferas. Por simetría, la fuerza gravitacional neta que atrae un punto de masa hacia una esfera homogénea debe dirigirse hacia su centro. El teorema de la capa esférica (también probado por Isaac Newton) establece que la magnitud de esta fuerza es la misma que si toda la masa estuviera concentrada en el centro de la esfera, incluso si la densidad de la esfera varía con la profundidad (como ocurre con la mayoría de los cuerpos celestes). De esto se desprende inmediatamente que la atracción entre dos esferas homogéneas es como si ambas tuvieran su masa concentrada en su centro.
Los objetos más pequeños, como asteroides o naves espaciales a menudo tienen una forma que se desvía fuertemente de una esfera. Pero las fuerzas gravitacionales producidas por estas irregularidades son generalmente pequeñas en comparación con la gravedad del cuerpo central. La diferencia entre una forma irregular y una esfera perfecta también disminuye con las distancias, y la mayoría de las distancias orbitales son muy grandes en comparación con el diámetro de un pequeño cuerpo en órbita. Por lo tanto, para algunas aplicaciones, la irregularidad de la forma puede despreciarse sin un impacto significativo en la precisión.
Los planetas giran a velocidades variables y, por lo tanto, pueden adoptar una forma ligeramente oblonga debido a la fuerza centrífuga. Con cuerpos muy oblongos, la atracción gravitatoria se desviará un poco de la de una esfera homogénea. Este fenómeno es bastante notable para los satélites artificiales de la Tierra, especialmente aquellos en órbitas bajas. A distancias mayores, el efecto de este achatamiento se vuelve insignificante. Los movimientos planetarios en el sistema solar se pueden calcular con suficiente precisión si se tratan como masas puntuales.
Dos objetos puntuales con masas y y vectores de posición y en un sistema de referencia inercial, experimentan las siguientes fuerzas gravitacionales:
donde es el vector de posición relativo de la masa 1 con respecto a la masa 2, expresado como:
y es el vector unitario en esa dirección y es la longitud de ese vector.
Dividiendo por sus respectivas masas y restando la segunda ecuación de la primera, se obtiene la ecuación del movimiento para la aceleración del primer objeto con respecto al segundo:
En muchas aplicaciones, se puede hacer una tercera suposición simplificadora: 3. Cuando se compara con el cuerpo central, la masa del cuerpo en órbita es insignificante. Matemáticamente, m1 >> m2, y por lo tanto μ = G (m1 + m2)≈Gm1. Esta suposición no es necesaria para resolver el problema de los dos cuerpos, pero simplifica los cálculos, particularmente con los satélites que orbitan la Tierra y los planetas que giran alrededor del sol. Incluso la masa de Júpiter es inferior a la del sol en un factor de 1047,http://ssd.jpl.nasa.gov lo que constituiría un error del 0,096% en el valor de μ. Excepciones notables incluyen el sistema Tierra-Luna (proporción de masa de 81,3), el sistema de Plutón-Caronte (relación de masa de 8,9) y los sistemas de estrellas binarias.
Bajo estas suposiciones, la ecuación diferencial para el caso de los dos cuerpos se puede resolver matemáticamente por completo y la órbita resultante, que sigue las leyes del movimiento planetario de Kepler, se llama una "órbita de Kepler". Las órbitas de todos los planetas se pueden calcular con alta precisión mediante órbitas de Kepler alrededor del Sol. Las pequeñas desviaciones se deben a las atracciones gravitacionales mucho más débiles entre los planetas, y en el caso de Mercurio, debido a la relatividad general. Las órbitas de los satélites artificiales alrededor de la Tierra son, con una aproximación razonable, órbitas de Kepler con pequeñas perturbaciones debido a la atracción gravitacional del sol, la luna y el achatamiento de la Tierra. En aplicaciones de alta precisión para las cuales la ecuación de movimiento debe integrarse numéricamente con todas las fuerzas gravitacionales y no gravitatorias (como la presión de radiación y el arrastre atmosférico) que se tienen en cuenta, los conceptos de órbita de Kepler son de suma importancia y muy utilizados.
Elementos Keplerianos thumb|300px|right|Elementos orbitales Keplerianos
Vale la pena mencionar que cualquier trayectoria kepleriana se puede definir mediante seis parámetros. El movimiento de un objeto que se mueve en el espacio tridimensional se caracteriza por un vector de posición y un vector de velocidad. Cada vector tiene tres componentes, por lo que el número total de valores necesarios para definir una trayectoria a través del espacio es seis. Una órbita generalmente está definida por seis elementos (conocidos como "elementos keplerianos") que se pueden calcular a partir de su posición y su velocidad, tres de los cuales ya se han discutido. Estos elementos son convenientes ya que de los seis, cinco son inmutables para una órbita imperturbable (en un marcado contraste con dos vectores en constante cambio). La ubicación futura de un objeto dentro de su órbita puede predecirse y su nueva posición y velocidad pueden obtenerse fácilmente a partir de los elementos orbitales.
Dos definen el tamaño y la forma de la trayectoria: Semieje mayor () Excentricidad ()
Tres definen la orientación del plano orbital: