miniaturadeimagen|300px|Precesión del perihelio del planeta Mercurio, un fenómeno que no puede justificar la mecánica newtoniana, pero que la mecánica relativista fue capaz de explicar.

El problema de los dos cuerpos en la relatividad general es la determinación del movimiento y del campo gravitatorio de dos cuerpos según lo descrito por las ecuaciones de campo de la relatividad general. La resolución relativista del problema de Kepler es esencial para explicar y calcular fenómenos como el curvado de la trayectoria de la luz por efecto de la gravedad, así como determinados efectos sobre el movimiento de un planeta que orbita alrededor de su sol. Las soluciones también se utilizan para describir el movimiento de estrellas binarias entre sí, y para estimar su pérdida gradual de energía a través de la emisión de ondas gravitatorias. Es habitual suponer que ambos cuerpos son puntuales, por lo que pueden omitirse las fuerzas de marea y los detalles de su composición material.

Visión general La relatividad general describe el campo gravitacional mediante la curvatura del espacio-tiempo; las ecuaciones de campo que rigen esta curvatura son sistemas no lineales y, por lo tanto, son difíciles de resolver de forma explícita. No se han encontrado soluciones exactas del problema de Kepler, pero tiene una solución aproximada: la solución de Schwarzschild. Esta solución se aplica cuando la masa M de un cuerpo es muchísimo mayor que la masa m del otro. Si es así, la masa más grande se puede tomar como estacionaria y como el único contribuyente al campo gravitatorio. Esta es una buena aproximación para un fotón que pasa cerca de una estrella y para un planeta que orbita alrededor de su sol. El movimiento del cuerpo más ligero (llamado "partícula" a partir de ahora) se puede determinar a partir de la solución de Schwarzschild; el movimiento es una línea geodésica (la "ruta más corta entre dos puntos") en el espacio-tiempo curvo. Tales soluciones geodésicas permiten modelizar correctamente la anómala precesión del planeta Mercurio, lo que constituye una pieza clave de evidencia que respalda la teoría de la relatividad general. También describen el curvado de la luz en un campo gravitatorio, otra famosa predicción utilizada como evidencia de la relatividad general.

Si se considera que ambas masas contribuyen al campo gravitatorio, como en las estrellas binarias, el problema de Kepler puede resolverse solo aproximadamente. El primer método de aproximación que se desarrolló fue el de expansión postnewtoniana, un método iterativo en el que una solución inicial se corrige gradualmente. Más recientemente, ha sido posible resolver la ecuación de campo de Einstein usando ordenadores en lugar de fórmulas matemáticas. Cuando los dos cuerpos orbitan entre sí, emiten radiación gravitatoria; esto hace que pierdan energía y momento angular gradualmente, como ilustra el pulsar binario PSR B1913+16.

Para los agujeros negros binarios, la solución numérica del problema de los dos cuerpos se logró después de cuatro décadas de investigación, en 2005, cuando tres grupos de investigadores idearon una serie de técnicas innovadoras.

Contexto histórico

Problema clásico de Kepler

miniaturadeimagen|derecha|Figura 1. Trayectoria elíptica típica de una masa pequeña m que orbita alrededor de una masa mucho más grande M. La masa más grande también se mueve en una órbita elíptica, pero es demasiado pequeña para ser vista porque M es mucho mayor que m. Los extremos del diámetro indican los ápsides, los puntos de distancia más cercana y más lejana.

El problema de Kepler recibe su nombre del astrónomo alemán Johannes Kepler, que trabajó como asistente del astrónomo danés Tycho Brahe. Brahe tomó medidas extraordinariamente precisas del movimiento de los planetas del sistema solar. A partir de estas mediciones, Kepler pudo formular las denominadas Leyes de Kepler, la primera descripción moderna del movimiento planetario: La órbita de cada planeta es una elipse con el Sol en uno de los dos focos. Una recta tendida entre un planeta y el Sol barre áreas iguales durante intervalos de tiempo iguales. El cuadrado del período orbital de un planeta es directamente proporcional al cubo del semieje mayor de su órbita. Kepler publicó las dos primeras leyes en 1609 y la tercera en 1619. Se impusieron a modelos anteriores del sistema solar, como los de Claudio Ptolomeo y Nicolás Copérnico. Las leyes de Kepler se aplican solo en el caso limitado del problema de los dos cuerpos. Voltaire y Émilie du Châtelet fueron los primeros en llamarlas leyes de Kepler.

Casi un siglo después, Isaac Newton había formulado sus tres leyes del movimiento. En particular, la segunda ley de Newton establece que una fuerza F aplicada a una masa m produce una aceleración a dada por la ecuación F = ma. A continuación, se planteó la pregunta: ¿cuál debe ser la fuerza que produce las órbitas elípticas observadas por Kepler? Su respuesta fue la ley de gravitación universal, que establece que la fuerza entre una masa M y otra masa m viene dada por la fórmula

,

donde r es la distancia entre las masas y G es la constante de gravitación universal. Dada esta ley de fuerza y sus ecuaciones de movimiento, Newton pudo demostrar que dos masas puntuales que se atraen entre sí seguirían órbitas perfectamente elípticas. La relación de tamaños de estas elipses es m/M, con la masa más grande moviéndose en una elipse más pequeña. Si M es mucho más grande que m, entonces la masa más grande parecerá estar estacionaria en el foco de la órbita elíptica de la masa más ligera m. Este modelo se puede aplicar aproximadamente al sistema solar. Como la masa del Sol es mucho más grande que la de los planetas, la fuerza que actúa en cada planeta se debe principalmente al Sol; la gravedad de los planetas entre sí puede despreciarse en una primera aproximación.

Precesión apsidal

miniaturadeimagen|derecha|345px|En ausencia de otras fuerzas, una partícula orbitando alrededor de otra bajo la influencia de la gravedad newtoniana recorre la misma elipse perfecta eternamente. La presencia de otras fuerzas (como la gravitación de otros planetas) hace que esta elipse gire gradualmente. La velocidad de esta rotación (llamada precesión orbital) se puede medir con mucha precisión. Su variación también puede predecirse conociendo las magnitudes y direcciones de las otras fuerzas. Sin embargo, las predicciones de la gravedad newtoniana no coinciden con las observaciones realizadas, como se descubrió en 1859 a partir de observaciones del planeta Mercurio.

Si la energía potencial entre los dos cuerpos no es exactamente el potencial 1/r de la ley gravitatoria de Newton, sino que difiere solo ligeramente, entonces la elipse de la órbita rota gradualmente (entre otros efectos posibles). Esta precesión apsidal se observa para todos los planetas que orbitan alrededor del Sol, principalmente debido al achatamiento del Sol (que no es perfectamente esférico) y las atracciones de los otros planetas entre sí. Los ápsides son los dos puntos de la distancia más cercana y lejana de la órbita (el periápside y el apoápside, respectivamente); la precesión apsidal corresponde a la rotación de la línea que une los ápsides. También corresponde a la rotación del vector de Runge-Lenz, orientado según la línea de los ápsides.

La ley de gravitación de Newton pronto se aceptó porque permitió efectuar predicciones muy precisas del movimiento de todos los planetas. Estos cálculos se llevaron a cabo inicialmente por Pierre-Simon Laplace a finales del , y fueron refinados por François Félix Tisserand a fines del . Por el contrario, si la ley de gravitación de Newton "no" era capaz de predecir las precesiones absidales de los planetas con precisión, tendría que descartarse como una teoría de la gravitación. Tal precesión anómala se observó en la segunda mitad del .

Precesión anómala de Mercurio

En 1859, Urbain Le Verrier descubrió que la precesión orbital del planeta Mercurio no era exactamente la que debería ser de acuerdo con las leyes de Newton. La elipse de su órbita estaba girando (es decir, describiendo un movimiento de precesión) ligeramente más rápido que lo predicho por la teoría tradicional de la gravedad newtoniana, incluso después de que todos los efectos de los otros planetas se hubieran tenido en cuenta. El efecto es pequeño (aproximadamente una rotación de 43 segundos de arco por siglo), pero muy por encima del error de medición (de aproximadamente 0,01 arcosegundos por siglo). Le Verrier se dio cuenta de la importancia de su descubrimiento de inmediato, y desafió a los astrónomos y físicos por igual a encontrar una causa del fenómeno. Se propusieron varias explicaciones clásicas, como polvo interplanetario, esfericidad imperfecta no observada del Sol, una luna de Mercurio no detectada o un nuevo planeta llamado Vulcano.. Después de que estas explicaciones fueron descartadas, algunos físicos se vieron impulsados a la hipótesis más radical de que la ley de la inversa del cuadrado de la gravitación formulada por Newton era incorrecta. Por ejemplo, algunos físicos propusieron una ley potencial con un exponente que era ligeramente diferente de 2.

Otros argumentaron que la ley de Newton debería completarse con un potencial dependiente de la velocidad. Sin embargo, esto implicaba un conflicto con la dinámica celeste newtoniana. En su tratado sobre mecánica celeste, Pierre-Simon Laplace había demostrado que si la influencia gravitatoria no actúa instantáneamente, entonces los movimientos de los planetas mismos no conservarán el impulso (y, en consecuencia, parte del impulso tendría que ser atribuido al mediador de la interacción gravitatorio, en una situación análoga a atribuirle un impulso al medio de la interacción electromagnética.) Como se ve desde un punto de vista newtoniano, si la influencia gravitatoria se propaga a una velocidad finita, entonces en cualquier situación un planeta es atraído hacia un punto donde el Sol estuvo en un instante anterior, y no hacia la posición instantánea del sol. Partiendo de los fundamentos clásicos, Laplace había demostrado que si la gravedad se propagara a una velocidad del orden de la velocidad de la luz, entonces el sistema solar sería inestable y no existiría por un tiempo prolongado. La observación de que el sistema solar es lo suficientemente antiguo le permitió poner un límite inferior a la velocidad de la gravedad que resultó ser muchos órdenes de magnitud más rápido que la velocidad de la luz.Pais 1982