En matemáticas, y más concretamente en teoría de grupos, el centro de un grupo es el subconjunto formado por los elementos que conmutan con todos los elementos del grupo. De manera formal, dado un grupo , se define su centro como:
El centro de es un subgrupo, que además es abeliano, normal y característico en .
Ejemplos
Por ejemplo, sea G el grupo GL(2, R) de las matrices invertibles de orden 2 × 2 con coeficientes reales:
Las matrices invertibles son aquellas cuyo determinante es diferente de 0.
Un cálculo directo muestra que el centro de G consiste en las matrices escalares
donde es cualquier número real distinto de cero.
Este es un caso particular del resultado siguiente:
Para otro ejemplo, sea G el grupo de los cuaterniones. Es fácil verificar que el centro de ese grupo es , pues son los únicos elementos que conmutan con el resto.
Propiedades
Si G es abeliano (conmutativo) entonces G=Z(G).
El centro Z(G) de un grupo G es un subgrupo normal abeliano de G.
El centro de G es un subgrupo característico (invariante bajo cualquier automorfismo de G).
Centralizador
De manera similar a como se define el centro de un grupo G, se define el concepto del centralizador de un elemento a en G: es el subconjunto formado por los elementos de G que conmutan con a. Formalmente:
Proposiciones El centralizador de a en G es un subgrupo de G. El centralizador de a en G es el mayor subgrupo de G en el que a conmuta con todos sus elementos. El centralizador de a es todo G si y solo si a pertenece al centro de G. El centro de G es la intersección de los centralizadores de cada uno de sus elementos. Si existe en un grupo G un único elemento a, cuyo orden es 2, entonces el centralizador de a es todo G.
Véase también
Propiedad conmutativa. Grupo abeliano. Grupo nilpotente. Normalizador. Subgrupo conmutador. Ecuación de clases.
Referencias
Bibliografía
Categoría:Teoría de grupos