derecha|miniaturadeimagen|500px|Construcción de la envolvente de una familia de curvas.
En geometría, una envolvente de una familia de curvas en el plano es una curva que es tangente a cada miembro de la familia en algún punto, y estos puntos de tangencia juntos forman la envolvente completa. Clásicamente, un punto en la envolvente se puede considerar como la intersección de dos curvas "infinitesimalmente adyacentes", es decir, el límite de la intersección de dos curvas cuya separación tiende a cero. Esta idea se puede generalizar a una envolvente de superficies en el espacio, y así sucesivamente a dimensiones más altas.
Para poseer una envolvente, los miembros individuales de la familia deben ser curvas diferenciables, ya que de lo contrario el concepto de tangencia no se aplica, y tiene que haber una transición suave a través de sus miembros. Pero incluso si se cumplen estas condiciones, una familia determinada puede no tener una envolvente. Un ejemplo simple de este caso es una familia de circunferencias concéntricas de radio creciente.
Envolvente de una familia de curvas Considérese que cada curva Ct de una familia es la solución de una ecuacion ft (x, y) = 0 (véase curva implícita), donde t es un parámetro. Por otro lado, se tiene que F (t, x, y) = ft (x, y); y se asume que F es diferenciable.
La envolvente de la familia Ct se define entonces como el conjunto de puntos (x, y) para el que, simultáneamente,
para algún valor de t, donde es la derivada parcial de F con respecto a t.
Si t y u, con t ≠ u, son dos valores del parámetro, entonces la intersección de las curvas Ct y Cu viene dada por
o equivalentemente,
Haciendo u → t se obtiene la definición anterior.
Un caso especial importante es cuando F (t, x, y) es un polinomio en t. Esto incluye, por eliminación de denominadores, el caso en el que F (t, x, y) es una función racional en t. En este caso, la definición equivale a t siendo una raíz doble de F (t, x, y), por lo que la ecuación de la envolvente se puede encontrar al establecer la condición de que el discriminante de F sea 0 (porque la definición exige que F = 0 en algún t y la primera derivada = 0, es decir, que su valor sea 0 implica un mínimo o un máximo de la función en ese t).
Por ejemplo, haciendo que Ct sea la línea cuyas intersecciones x e y son t y 11-t, se obtiene la animación anterior. La ecuación de Ct es entonces
o, simplificando las fracciones,
La ecuación de la envolvente es entonces
A menudo, cuando F no es una función racional del parámetro, se puede reducir a este caso mediante una sustitución apropiada. Por ejemplo, si la familia viene dada por Cθ con una ecuación de la forma u (x, y) cosθ + v (x, y) sinθ =w(x, y), luego poniendo t=eiθ, cosθ = (t + 1 / t) / 2, sinθ = (t - 1 / t) / 2i, cambia la ecuación de la curva a
o
La ecuación de la envolvente se da luego estableciendo el discriminante en 0:
o
Definiciones alternativas
La envolvente E1 es el límite de las intersecciones de las curvas cercanas Ct. La envolvente E2 es una curva tangente a todos los Ct. La envolvente E3 es el límite de la región ocupada por las curvas Ct.
Luego , y , donde es el conjunto de puntos definidos al principio de la sección principal de esta subsección.
Ejemplos
Ejemplo 1 Estas definiciones de E1, E2 y E3 de la envolvente pueden ser conjuntos diferentes. Considérese por ejemplo la curva parametrizada por donde . La familia de curvas dada por un parámetro vendrá dada por las líneas tangentes a γ.
Primero se calcula el discriminante . La función generadora es
Cálculando la derivada parcial . Se deduce que, o bien , o . Primero se asume que . Sustituyendo en F: y así, suponiendo que t ≠ 0, se deduce que solo si . Luego, suponiendo que y sustituyendo en F resulta . Entonces, asumiendo que , se deduce que solo si . Por lo tanto, el discriminante es la curva original y su línea tangente en γ (0):
Luego se calcula E1. Una curva es dada por y una curva cercana es dada por donde ε es un número tan pequeño como se desee. El punto de intersección proviene de calcular el límite de ya que ε tiende a cero. Hay que tener en cuenta que si y solo si
Si , entonces L tiene solo un factor dependiente de ε. Suponiendo que , la intersección viene dada por
Siendo se deduce que . El valor y se calcula sabiendo que este punto debe estar en una línea tangente a la curva original γ, tal que . Sustituyendo y resolviendo da y = t3. Cuando , L es divisible por ε2. Suponiendo que , la intersección está dada por
De ahí se sigue que , y sabiendo que se obtiene . Resulta que
Luego se calcula E2. La curva en sí es la curva que es tangente a todas sus propias líneas tangentes. Resulta que
Finalmente se calcula E3. Cada punto en el plano tiene al menos una línea tangente a γ que pasa a través de él, por lo que la región llena por las líneas tangentes es todo el plano. El límite E3 es, por lo tanto, el conjunto vacío. De hecho, considerando un punto en el plano (x0, y0), este punto se encuentra en una línea tangente si y solo si existe un t tal que
Esto es una tercera potencia en t, y como tal, tiene al menos una solución real. Se deduce que al menos una línea tangente a γ debe pasar a través de cualquier punto dado en el plano. Si y , cada punto ( x , y ) tiene exactamente una línea tangente a γ que pasa por ella. Lo mismo es cierto si . Si y , entonces cada punto (x, y) tiene exactamente tres líneas tangentes distintas para que γ pase a través de él. Lo mismo es cierto si y . Si y , cada punto (x, y) tiene exactamente dos líneas tangentes para que γ pase por él (esto corresponde a que el cubo tiene una raíz ordinaria y una raíz repetida). Lo mismo es cierto si y . Si y , es decir, , este punto tiene una sola línea tangente a γ que pasa por él (esto corresponde a que el cubo tiene una raíz real de multiplicidad 3). Resulta que
Ejemplo 2 derecha|miniaturadeimagen|Este gráfico muestra la envolvente de la familia de líneas que conectan los puntos (t,0), (0,k - t), hasta que k alcanza el valor 1.
En arte con hilos tensados es común realizar una conexión cruzada de dos alineaciones de alfileres equiespaciados. ¿Qué curva se forma?
Para simplificar las fórmulas resultantes, se configuran los alfileres en los ejes x e y. Un diseño que no fuera ortogonal puede reducirse a uno que sí lo sea mediante una rotación y un escalado. Un hilo general en línea recta conecta los dos puntos (0, k −t) y (t, 0), donde k es una constante de escala arbitraria, y la familia de líneas se genera variando el parámetro t. A partir de la simple relación geométrica, la ecuación de esta línea recta es y = −(k − t) x / t + k − t.
Reordenando y reescribiendo en la forma F (x, y, t) = 0, se obtiene:
{|cellpadding=0 cellspacing=0 border=0 width=75%
| style="text-align:right"|(1)
Ahora, diferenciando F (x, y, t) con respecto a t con la condición de que el resultado sea igual a cero, se obtiene
{|cellpadding=0 cellspacing=0 border=0 width=75%
| style="text-align:right"|(2)
Estas dos ecuaciones definen conjuntamente la ecuación de la envolvente. De (2) se tiene que t = (−y + x + k) / 2. Sustituyendo este valor de t en (1) y simplificando, proporciona una ecuación para la envolvente en términos de x e y exclusivamente:
Esta es la familiar forma implícita de una sección cónica, en este caso un parábola. Las parábolas se mantienen como parábolas bajo rotación y escalamiento; por lo tanto, el hilorama forma un arco parabólico (un arco, ya que solo se produce una porción de la parábola completa). En este caso, una rotación en sentido antihorario de 45° da la ecuación parabólica ortogonal y = x2 / ( k) + k / (2) El paso final para eliminar t no siempre es posible hacerlo analíticamente, dependiendo de la forma de F (x, y, t).
Ejemplo 3
Sea I ⊂ R un intervalo abierto tal que γ: I → R2 sea una curva plana uniforme parametrizada por la longitud de arco. Considérese la familia caracterizada por un parámetro de líneas normales a γ (I). Una línea es normal a γ en γ(t ) si pasa a través de γ (t) y es perpendicular al vector tangente a γ en γ(t). Sean T el vector unitario de la tangente a γ y N el vector normal unidad. Usando la notación de un punto (•) para denotar el producto escalar, la familia generadora monoparamétrica de líneas normales viene dada por la expresión donde
Claramente (x − γ) · T = 0 si y solo si x − γ es perpendicular a T, o equivalentemente, si y solo si x − γ es paralela a N, o equivalentemente, si y solo si x = γ + λ N para algún λ ∈ R. Resulta que
es exactamente la línea normal a γ en γ (t0). Para encontrar el discriminante de F se necesita calcular su derivada parcial con respecto a t:
donde κ es la curvatura de γ. Se ha visto que F = 0 si y solo si x - γ = λ N para algún λ ∈ R. Suponiendo que F = 0 da
y suponiendo que κ ≠ 0 se deduce que λ = 1/κ, y así
Esta es exactamente la evoluta de la curva γ.
Ejemplo 4 derecha|miniaturadeimagen|Un astroide como la envolvente de la familia de líneas que conectan los puntos (s,0), (0,t) con s2 + t2 = 1 El siguiente ejemplo muestra que, en algunos casos, la envolvente de una familia de curvas puede verse como el límite topológico de una unión de conjuntos, cuyos límites son las curvas de la envolvente. Para y , considérese el triángulo rectángulo (abierto) en un plano cartesiano con vértices , y
Elíjase un exponente y considérese la unión de todos los triángulos sujetos a la restricción , es decir, el conjunto abierto
Para escribir una representación cartesiana de , comiéncese con cualquier , que satisfaga y cualquier . La desigualdad de Hölder en con respecto a los exponentes conjugados y resulta: , con igualdad si y solo si . En términos de una unión de conjuntos, la última desigualdad indica que el punto pertenece al conjunto , es decir, pertenece a algún con , si y solo si satisface que
Además, el límite en del conjunto es la envolvente de la familia correspondiente de segmentos de línea talws que
(es decir, las hipotenusas de los triángulos), y tiene una ecuación cartesiana
Obsérvese que, en particular, el valor da el arco de la parábola del ejemplo 1, y el valor (lo que significa que todas las hipotenusas son segmentos de longitud unitaria) da el astroide.
Ejemplo 5 miniaturadeimagen|La envolvente de las órbitas de los proyectiles lanzados por un cañón (con la misma velocidad inicial dada) es una parábola cóncava. La velocidad inicial es 10 m/s, y se ha tomado g = 10 m/s2.
Considérese el siguiente ejemplo de envolvente de un movimiento. Supongamos que con la altura inicial 0, se lanza un proyectil al aire con una velocidad inicial constante v, pero con diferentes ángulos de elevación θ. Siendo x el eje horizontal del plano en el que se produce el movimiento, e y el eje vertical. Entonces, el movimiento da el siguiente sistema dinámico diferencial:
que satisface cuatro condiciones iniciales:
Aquí t indica el tiempo del movimiento, θ es el ángulo de elevación, g denota la intensidad del campo gravitatorio, y v es una constante que indica la velocidad inicial. La solución del sistema anterior puede describirse por la función implícita:
Para encontrar la ecuación de su envolvente, puede calcularse la derivada indicada:
Al eliminar θ, resulta la siguiente ecuación de la envolvente:
Claramente, la envolvente resultante es también una parábola cóncava.
Sobre de una familia de superficies Una familia monoparamétrica de superficies en el espacio euclidiano tridimensional viene dada por un conjunto de ecuaciones
dependiente de un parámetro real a. Por ejemplo, los planos tangentes a una superficie en una curva de la superficie forman dicha familia.
Dos superficies correspondientes a diferentes valores a y a''' se cruzan en una curva común definida por
En el límite, cuando a se acerca a a, esta curva tiende a una curva contenida en la superficie en a