mini|Los 15 tipos de teselados pentagonales monoedrales convexos del plano mini|El 15º tipo de tesela monoedral pentagonal convexa, descubierto en 2015
En geometría, un teselado pentagonal es un tipo de recubrimiento del plano en el que cada pieza individual tiene la forma de un pentágono.
Los recubrimientos a base de piezas pentagonales convexas del mismo tamaño (los denominados teselados pentagonales monoedrales convexos) se convirtieron en objeto de investigación geométrica a comienzos del . Han producido sorprendentes resultados a lo largo de más de cien años, involucrando tanto a matemáticos profesionales como a matemáticos aficionados (entre los que destaca la singular historia de Marjorie Rice) a través de los artículos de Martin Gardner en la revista Scientific American. En este período, se han ido descubriendo quince tipos de teselados pentagonales monoedrales convexos distintos, estando pendiente a finales del año 2017 la confirmación definitiva de la demostración formulada por el matemático francés Michaël Rao, de que no es posible que exista ningún otro tipo más.
Un teselado regular pentagonal en el plano euclidiano es imposible, porque el ángulo interno de un pentágono regular, 108°, no es un divisor de 360°, la medida angular de un círculo completo. A pesar de ello, los pentágonos regulares pueden recubrir tanto una superficie hiperbólica como una esfera.
Teselados pentagonales monoedrales convexos mini|Un ejemplo de tesela pentagonal con ángulos marcados como A,B,C,D, y E, y longitudes de lado marcados como a,b,c,d, y e
Se conocen quince tipos de pentágonos convexos que forman recubrimientos del plano monoedrales (es decir, con un solo tipo de tesela).Tilings and Patterns, Sec. 9.3 Other Monohedral tilings by convex polygons El más reciente se descubrió en 2015. ha demostrado que la lista está completa (aunque el resultado está siendo sometido a revisión por pares). demostró que solo hay ocho tipos de teselas convexas del tipo borde-a-borde, un resultado también obtenido independientemente por .
Michaël Rao,Michaël Rao miembro de la Escuela Normal Superior de Lyon, anunció el 1 de mayo de 2017 que había encontrado la prueba de que no existe ningún tipo más de estos 15 teselados pentagonales monoedrales convexos.Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane El artículo de Rao está disponible para su revisión por pares.Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane Cornell University. Michaël Rao El 11 de julio de 2017, la primera mitad de la prueba había sido independientemente verificada (el código de ordenador disponible)Publications-of-thomas-hales/projects_discrete_geom/rao-pentagon-tilings por Thomas Hales, un profesor de matemáticas de la Universidad de Pittsburgh.Pentagon Tiling Proof Solves Century-Old Math Problem En diciembre de 2017, la prueba todavía no había sido plenamente revisada.
Cada familia enumerada contiene pentágonos que no pertenecen a ningún otro tipo. Sin embargo, algunos de los pentágonos individuales pueden pertenecer a varios tipos. Además, determinados pentágonos pertenecientes a los tipos de recubrimiento conocidos también permiten formar patrones alternativos diferentes a los estándares exhibidos por todos los miembros de su tipo.
Los lados de longitudes a, b, c, d, e están respectivamente situados inmediatamente a continuación de los vértices A, B, C, D, E según el sentido de las agujas del reloj. (Así, A, B, C, D, E son respectivamente opuestos a d, e, a, b, c.) + Los 15 tipos de teselas pentagonales monoedrales12345150x150px B+C=180° A+D+E=360°150x150px c=e B+D=180°150x150px a = b, d = c + e A = C = D = 120°150x150px b = c, d = e B = D = 90°150x150px a = b, d = e A = 60°, D = 120°678910150x150px a = d = e, b = c B + D = 180°, 2B = E152x152px b = c = d = e B + 2E = 2C + D = 360°197x197px b = c = d = e 2B + C = D + 2E = 360°195x195px b = c = d = e 2A + C = D + 2E = 360°150x150px a = b = c + e A = 90°, B + E = 180°, B + 2C = 360°1112131415150x150px 2a + c = d = e A = 90°, 2B + C = 360° C + E = 180°150x150px 2a = d = c + e A = 90°, 2B + C = 360° C + E = 180°150x150px d = 2a = 2e B = E = 90°, 2A + D = 360°150x150px 2a = 2c = d = e A = 90°, B ≈ 145.34°, C ≈ 69.32°, D ≈ 124.66°, E ≈ 110.68° (2B + C = 360°, C + E = 180°).150x150px a = c = e, b = 2a A = 150°, B = 60°, C = 135°, D = 105°, E = 90° Muchos de estos tipos de teselas monoedrales tienen distintos grados de libertad, que incluyen variaciones de los ángulos internos y de las longitudes de los lados. En el límite, los bordes pueden tener longitudes que se aproximan a cero o ángulos casi de 180°. Los tipos 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, y 13 permiten posibilidades paramétricas con prototeselas no convexas (es decir, con algún ángulo interno negativo).
Los teselados periódicos se caracterizan por poseer la simetría del grupo del papel pintado. Por ejemplo, p2 (2222) está definido por cuatro puntos de giro de 2 lóbulos. Esta nomenclatura es utilizada en los esquemas siguientes, donde las teselas son también coloreadas por sus posiciones k-isoedrales dentro de la simetría.
Una celda unidad es una sección del teselado que genera el recubrimiento entero utilizando únicamente traslaciones, y es tan pequeña como sea posible.
Grados de libertad En su disertación,Karl Reinhardt: Über die Zerlegung der Ebene in Polygone. Inaugural-Dissertation, zur Erlangung der Doktorwürde der Hohen Naturwissenschaftlichen Fakultät der Königlichen Universität zu Frankfurt a. M., Robert Noske, Borna-Leipzig (1918). Bitte beachten: Auf S. 77 befindet sich ein Fehler. Die Winkelsumme γ + δ für die ersten beiden Parkettierungstypen muss π sein, und nicht 2π (wie angegeben). Reinhardt hizo una clasificaciónEn 6 de las 7 clases de esta división de los pentágonos en la página 76, Reinhardt usa la palabra "diferente", pero lo que se entiende es "posiblemente diferente", es decir, indica que R-I: "las relaciones de aspecto son arbitrarias". de los tipos de mosaicos con respecto a las relaciones de aspecto de sus cinco lados: R-I Los cinco lados son diferentes. R-II Entre los cinco lados hay dos iguales; los otros son diferentes de estos y de los demás. R-III1 Entre los cinco lados, tres son iguales; los otros son diferentes de estos y de los demás. R-III2 Entre los cinco lados hay dos pares de iguales pero diferentes entre sí; el último es diferente de estos. R-IV1 Entre los cinco lados, cuatro son iguales; el último es diferente de estos. R-IV2 Entre los cinco lados, tres son iguales y, los dos diferentes son iguales entre sí. R-V los cinco lados son iguales entre sí.
Los 15 tipos de teselas descritos son isoedrales, lo que significa que entre cada par de teselas, existe una operación a base de giros y simetrías que permite superponer una tesela sobre la otra; en resumen: que el teselado visto desde cada celda unidad "se ve igual". Muchos de los 15 tipos de mosaico son varias veces isoedrales.
Tipo123456789101112131415 Grados de libertadJaap Scherphuis © 2009-2017 Tilings541221111111100 Clase de ReinhardtR-IR-IIR-IIR-III2R-III2R-IV2R-IV1R-IV1R-IIR-IV1R-IIR-IR-IIR-III2R-III1 Borde-a-bordesi = todos borde-a-borde; no = ninguno borde-a-borde; ambos = de los dos tiposambosambosnosisisisisisinononononono k-isoedralTilings with a convex pentagonal tile k-isoedral (k∈{1,2,3,4}) eingefärbte Parkettierungen mit Fünfecken111112242322233 no convexono = solo hay revestimientos convexossisinosisisisisisinononosinono Para el tipo de tesela 1 también existen teselados aperiódicos.
Reinhardt (1918). Tipos 1, 2, 3, 4 y 5 encontró los primeros cinco tipos de teselas pentagonales. Las cinco pueden crear teselados isoedrales, lo que significa que las simetrías del teselado permiten sustituir la tesela que se desee por cualquier otra (más formalmente, el grupo del automorfismo actúa transitivamente sobre las teselas).
B. Grünbaum y G. C. Shephard demostraron que hay exactamente veinticuatro tipos "distintos" de teselados isoedrales del plano utilizando pentágonos según su esquema de clasificación. Todos utilizan teselas de Reinhardt, normalmente con las condiciones adicionales necesarias para permitir el teselado. Entre todos estos teselados existen dos recubrimientos con teselas del tipo 2, y uno por cada uno de los otros cuatro tipos. Quince de los otros dieciocho teselados son casos especiales del tipo 1. Nueve de los veinticuatro son del tipo borde-a-borde (es decir, ningún vértice coincide con un punto intermedio del borde de una tesela adyacente).
Hay también teselados 2-isoedrales que consisten en casos especiales del tipo 1, tipo 2, y tipo 4, y teselados 3-isoedrales, todos borde-a-borde, por casos especiales del tipo 1. No hay límite superior en k para teselados k-isoedrales para ciertos tipos que son simultáneamente del tipo 1 y del tipo 2, y de ahí tampoco en el número de teselas en una celda unidad.
La simetría del grupo del papel pintado para cada teselado se indica en notación orbifold entre paréntesis. Un segundo grupo de simetría más elemental se produce si la tesela posee quiralidad, dado que las imágenes especulares se pueden considerar distintas entre sí. En estos casos las teselas se han representado de color verde y de color amarillo.
Tipo 1 Existen numerosas topologías de teselas que contienen pentágonos del tipo 1. A continuación se muestran cinco de ellas. + Teselados pentagonales del tipo 1p2 (2222)cmm (2*22)cm (*×)pmg (22*)pgg (22×)p2 (2222)cmm (2*22)p1 (°)p2 (2222)p2 (2222)100x100px100x100px100x100px100x100px100x100px100x100px100x100pxcelda unidad de 2-teselascelda unidad de 4-teselas150x150px B + C = 180° A + D + E = 360°120x120px a = c, d = e A + B = 180°, A + D + E = 360°120x120px a = c A + B = 180°, C + D + E = 360°120x120px a = e B + C = 180°, A + D + E = 360°122x122px d = c + e A = 90°, C + D = 180° 2B + C = 360° B + E = 270°
Tipo 2 Los ejemplos del tipo 2 son isoedrales. El segundo es una variación borde-a-borde. Ambos poseen simetría pgg (22×). Si las prototeselas imagen especular de otras (amarillas y verdes) se consideran distintas, la simetría es p2 (2222). + Teselados pentagonales del tipo 2pgg (22×)p2 (2222)120x120px120x120pxcelda unidad de 4-teselas153x153px c = e B + D = 180°171x171px c = e, d = b B + D = 180°
Tipos 3, 4, y 5 + Teselados pentagonales de los tipos 3, 4 y 5Tipo 3Tipo 4Tipo 5p3 (333)p31m (3*3)p4 (442)p4g (4*2)p6 (632)100x100px100x100px100x100px100x100px100x100px100x100px100x100px160px160pxcelda unidad de 3-teselascelda unidad de 4-teselascelda unidad de 6-teselascelda unidad de 18-teselas150pxa = b, d = c + eA = C = D = 120°150pxb = c, d = eB = D = 90°150pxa = b, d = eA = 60°, D = 120°100pxa = b = c, d = eA = 60°, B = 120°, C = 90°D = 120°, E = 150°
Kershner (1968). Tipos 6, 7 y 8 encontró tres tipos más de teselas pentagonales, llevando el total a ocho. Anunció equivocadamente que se había completado la lista de teselados pentagonales capaces de recubrir el plano.
Los siguientes ejemplos son 2-isoedrales y borde-a-borde. El tipo 8 posee pares de teselas quirales, coloreadas en amarillo y verde, y con dos tonos de azules. La simetría pgg queda reducida a p2 cuando los pares quirales se consideran distintos. + Teselados pentagonales de los tipos 6, 7 y 8Tipo 6Tipo 6 (También tipo 5)Tipo 7Tipo 8p2 (2222)pgg (22×)pgg (22×)p2 (2222)p2 (2222)120x120px120x120px120x120px120x120px120x120px120x120px120x120px150x150px a = d = e, b = c B + D = 180°, 2B = E120x120px a = d = e, b = c B = 60°, A = C = D = E = 120°81x81px b = c = d = e B + 2E = 2C + D = 360°105x105px b = c = d = e 2B + C = D + 2E = 360°120x120px celda unidad de 4-teselas100x100px celda unidad de 4-teselas143x143px celda unidad de 8-teselas120x120px celda unidad de 8-teselas
James (1975). Tipo 10