miniaturadeimagen|276x276px|Diagrama con los diferentes tipos de relaciones binarias, partiendo de la relación homogénea En teoría de conjuntos y álgebra, la noción de relación de equivalencia sobre un conjunto permite establecer una relación entre los elementos del conjunto que comparten cierta característica o propiedad. Esto permite reagrupar dichos elementos en clases de equivalencia, es decir, «paquetes» de elementos similares. Esto posibilita la construcción de nuevos conjuntos «juntando» todos los elementos de una misma clase como un solo elemento que los representará y que define la noción de conjunto cociente.Frank Ayres. «Álgebra Moderna», libros Mc Graw-Hill, Bogotá, Colombia.

Definición

Sea un conjunto dado no vacío y una relación binaria definida sobre . Se dice que es una relación de equivalencia si cumple las siguientes propiedades:

Reflexividad: Todo elemento de está relacionado consigo mismo. Es decir,

.

miniaturadeimagen|Diagrama que muestra la estructura de una relación de equivalencia. Los puntos representan elementos y las flechas relaciones entre ellosSimetría: Si un elemento de está relacionado con otro, entonces ese otro elemento también se relaciona con el primero. Es decir,

.

Transitividad: Si un elemento de está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir,

.

Notación:

En aritmética modular la relación de equivalencia entre dos elementos e se denota que se lee « es equivalente a módulo ».

Una relación de equivalencia sobre un cuerpo puede denotarse con el par .

Clase de equivalencia o relación de equivalencia En lógica de clases y análisis matemático, la relación de equivalencia define subconjuntos disjuntos en llamados clases de equivalencia:

Dado un elemento , el conjunto dado por todos los elementos relacionados con definen la clase:

se le llama la clase de equivalencia asociada al elemento .

Al elemento se le llama representante de la clase.

Se llama orden al número de clases que genera una relación de equivalencia; si este es finito, se dice que la relación es de orden finito.

El concepto de clase de equivalencia tiene importancia en la ciencia, dado un conjunto de objetos o entidades abstractas (potencialmente infinitas), pueden establecerse relaciones de equivalencia sobre la base de algún criterio, las clases resultantes son los "tipos" en los que se puede clasificar toda la gama de objetos.

Conjunto cociente Al conjunto de todas las clases de equivalencia se denomina conjunto cociente y se denota como:

o

Partición Una relación de equivalencia sobre un conjunto induce una partición del mismo, es decir, un conjunto en el que se ha definido una relación de equivalencia puede ser dividido en varios subconjuntos de elementos equivalentes entre sí y tales que la reunión de esos subconjuntos coincide con el conjunto entero. El siguiente teorema expresa en términos más formales esa misma idea:

Proposición: Una relación de equivalencia en el conjunto no vacío K determina una partición de este, y toda partición de K determina una relación de equivalencia en este.

La partición tiene como elementos las clases de equivalencia. Estas son disjuntas dos a dos y la unión de ellas es igual al conjunto K. para cualesquiera dos no relacionados tenemos: ; la unión de todos integra al total:

Historia miniaturadeimagen|Elementos de Euclides, edición de 1576 Los primeros antecedentes de la noción de equivalencia son atribuidos a Euclides. El matemático Christopher Zeeman y el historiador David Fowler señalan que ya existían nociones de equivalencia en los elementos de Euclides. Argumentan que el concepto de «proporcionalidad» recogido en la obra es un precursor de la noción del de relación de equivalencia. Otros autores van más allá y señalan que Euclides también empleó implícitamente el concepto de clase de equivalencia al categorizar las figuras geométricas por su forma.

Habría que esperar varios siglos hasta que se vuelva a desarrollar el concepto intuitivo de relación de equivalencia. En efecto, en 1919 Russell introduce el concepto de «similitud» entre dos objetos y establece que este debe cumplir las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. Sin embargo, la aportación más importante hasta entonces la proporcionó en 1801 Gauss al definir «congruencia» en Disquisitiones arithmeticae.

miniaturadeimagen|Disquisitiones aritmeticae, Gauss Esta definición es, salvando las distancias, idéntica a la empleada actualmente para definir este concepto, algo a tener en cuenta máxime cuando sabemos que «ser congruente» es una relación de equivalencia. Además, más adelante en el texto, Gauss deduce (sin mencionarlas formalmente) las propiedades reflexiva y simétrica de la congruencia.

Dedekind y Cantor también emplearon relaciones de equivalencia sin definirlas formalmente. En lo que respecta a Dedekind, este desarrolló la definición de congruencia de Gauss. Concretamente, demostró la propiedad simétrica de la congruencia —reconociendo la trivialidad de las dos restantes— y argumentó que los números enteros podrían dividirse según si son congruentes o no en distintas «clases». Por su parte, Cantor, amigo de Dedekind, desarrolló extensamente la noción de cardinalidad de conjuntos infinitos. Para hacer este desarrollo, empleó una definición de equivalencia de conjuntos que establecía que dos conjuntos eran equivalentes si existía una biyección entre ellos. Esta definición es, de nuevo, una relación de equivalencia.

El concepto formal de relación de equivalencia no devino hasta 1912. En ese año, durante el congreso internacional de matemáticas, el matemático británico Phillip Jourdain presentó un artículo titulado On isoid relations and theories of irrational number. En su publicación, define «relación isoid» en los siguientes términos:

Esta definición, en esencia la de relación de equivalencia, no tuvo éxito entre sus pares. Russell, pese a ser conocedor de la definición de Jourdain, no la mencionó a la hora de teorizar sobre la «similitud» en 1919. miniaturadeimagen|Philip Jourdain, matemático y lógico británico|358x358px Fue Hasse quien en 1929 finalmente estableció la definición formal de relación de equivalencia con la publicación de su libro Höhere algebra. No obstante, para autores como Asghari, la obra fundamental que consolida la definición de relación de equivalencia es el tratado de topología del matemático estadounidense Tuckey titulado Convergence and Uniformity in Topology. En él aparece, por fin, la definición completa del término.

En las ramas de las matemáticas

Teoría de la medida En teoría de la medida, dado un conjunto y una medida , para construir el conjunto de funciones integrables lebesgue en es necesario introducir la noción de «equivalencia en casi todo». Esto no es más que afirmar que las funciones son idénticas salvo en un conjunto de medida nula. Así, formalmente se dice que

si en casi todo

Esta relación es, como su nombre indica, una relación de equivalencia. Una vez construida esta relación, se define a como el conjunto de las clases de equivalencia de funciones integrables lebesgue en por la relación .

Por otro lado, un resultado fundamental en la teoría de la medida es la existencia de conjuntos no medibles. Al demostrarlo es necesario emplear el axioma de elección para encontrar un conjunto formado por representantes de clases de equivalencia de cierta relación. En concreto, se relacionan aquellos números reales comprendidos entre 0 y 1 cuya resta sea racional, es decir

si con

Álgebra En álgebra abstracta se emplean multitud de relaciones de equivalencia. Dos ejemplos de ello los podemos encontrar en teoría de grupos.

Para demostrar el Teorema de Lagrange, se suele hacer uso de la siguiente relación de equivalencia: dado un grupo y un subgrupo , se relacionan dos elementos de si el producto del primero por el inverso del segundo pertenece al subgrupo, es decir,

si con

De esta relación se obtienen las clases laterales —a izquierda y a derecha— que conforman sendos grupos cociente.

El automorfismo de conjugación, muy relevante en grupos no abelianos, hace uso de la relación de equivalencia de nombre homónimo. Esta se define de la siguiente manera

si para algún

La relación de conjugación se emplea para describir el grupo simétrico o demostrar los teoremas de Sylow, entre otros.

Ejemplos

Sea N= {0,1,2, 3...}. Se define una relación de equivalencia en NxN, como sigue: (a;b)~ (c;d) si y solo si a+d = b +c. Esta es una relación de equivalencia en NxN y cada clase de equivalencia es un número entero. [(2;0)]= { (x;y)/ 2+y = 0 + x } a (2;0) se llama representante canónico y se denota, simplificadamente, 2.

La igualdad matemática

La relación de congruencia módulo M en el conjunto de los números enteros (i. e. ), donde se define: si y solo si es múltiplo de M.

Esta relación es de equivalencia porque:

Es reflexiva: a - a = 0, que es múltiplo de M. Es simétrica: si a - b es múltiplo de M, entonces b - a = -(a - b) también es múltiplo de M. Es transitiva: sean k y l números enteros tales que a - b = M k y b - c = M l. Entonces, a - c = (a - b) + (b - c) = M k + M l = M(k + l) y por tanto un múltiplo de M. En particular, si M = 2 tenemos la tradicional clasificación de los números enteros en pares e impares.

Sea H un subgrupo de un grupo G. Definiendo para elementos del grupo si y solo si , se tendrá la relación de equivalencia llamada congruencia módulo H.

Definiendo, para elementos del grupo, si y solo si existe g en G tal que , se llama relación de conjugación. Sus clases se denominan clases de conjugación. Las clases de equivalencia reciben el nombre de órbita o clase de conjugación.

Sean los números reales a y b, diremos que si y solo si sus máximos enteros son iguales. La clase de equivalencia son los intervalos [n; n+1) donde n es un número entero. Así 3,56 y 3,875 son equivalentes pues tienen el mismo máximo entero = 3. Ejemplo simple

Sobre el conjunto , la relación es una relación de equivalencia. Los siguientes conjuntos son clases de equivalencia de esta relación:

El conjunto de todas las clases de equivalencia para es Este conjunto es una partición del conjunto con respecto a . Relaciones de equivalencia

Las siguientes relaciones son todas relaciones de equivalencia: "Es igual a" en el conjunto de los números. Por ejemplo, es igual a "Cumple años el mismo día que" en el conjunto de todas las personas. "Es similar a" en el conjunto de todos los triángulos. "Es congruente con" en el conjunto de todos los triángulos. Dado un número natural , "es congruente con", módulo". " en los enteros. Dada una función , "tiene la misma imagen bajo que" sobre los elementos del dominio de . . Por ejemplo, y tienen la misma imagen bajo , a saber, . "Tiene el mismo valor absoluto que" en el conjunto de los números reales "Tiene el mismo coseno que" en el conjunto de todos los ángulos. Conexiones con otras relaciones

Un orden parcial es una relación que es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Igualdad es a la vez una relación de equivalencia y un orden parcial. La igualdad es también la única relación sobre un conjunto que es reflexiva, simétrica y antisimétrica. En expresión algebraicas, las variables iguales pueden ser sustituidas unas por otras, una facilidad que no está disponible para las variables relacionadas con la equivalencia. Las clases de equivalencia de una relación de equivalencia pueden sustituirse entre sí, pero no los individuos dentro de una clase. Un orden parcial estricto es irreflexivo, transitivo y asimétrica.