En teoría de la probabilidad y estadística, la función de dispersión es una función que caracteriza una distribución de probabilidad y lo hace midiendo la desviación absoluta esperada de una variable aleatoria respecto a cualquier punto dado. Fue definida por J. Muñoz-Pérez y A. Sánchez-Gómez en 1990 por su utilidad para estudiar la dispersión estadística e inducir un orden parcial de las distribuciones.

Definición Siendo una variable aleatoria de valor real con una esperanza finita ( ), la función de dispersión se define como el momento absoluto de orden de la variable aleatoria respecto de :

Interpretación como distancia La función de dispersión puede interpretarse como una medida de proximidad en los espacios . Específicamente, representa la distancia entre la función de distribución de () y la función de distribución de una variable aleatoria degenerada en el punto ():

De manera equivalente, utilizando la función cuantil , se define como la distancia entre y el valor constante :

Caracterización de la distribución La función de dispersión determina de forma unívoca a la función de distribución acumulativa (FDA) de . Siendo el conjunto de puntos de continuidad de , la función de distribución se obtiene de la derivada de la función de dispersión:

Propiedades La función de dispersión tiene las siguientes propiedades:

Convexidad : es una función convexa en . Diferenciabilidad : Es derivable, y los puntos de discontinuidad de su derivada son enumerables. Comportamiento asintótico de la derivada : Los límites de la derivada son y . Relación media : Los límites que involucran la media son dados por y .

Relación con la varianza Para una variable aleatoria con varianza finita , la distancia entre su función de dispersión y la función de dispersión de la variable aleatoria degenerada en su punto medio ( ) coincide exactamente con la varianza:

Ordenamiento dispersivo En el estudio de órdenes estocásticos, la función de dispersión proporciona una condición necesaria y suficiente para el ordenamiento dispersivo. Este concepto se basa en trabajos anteriores de Bickel y Lehmann sobre estadística descriptiva para modelos no paramétricos. Según Shaked y Shanthikumar, esta caracterización permite comparar distribuciones incluso cuando tienen el mismo soporte finito, como por ejemplo comparar una distribución uniforme continua con una distribución triangular (distribución de Simpson).

Generalizaciones La función de dispersión generalizada de orden p se define como la distancia entre la función cuantil y la función cuantil de una variable degenerada en :

dónde sería una distribución de probabilidad en y cualquier número positivo.

Véase también

Dispersión estadística Función cuantil Espacios Lp

Referencias

Categoría:Tipos de funciones Categoría:Teoría estadística Categoría:Teoría de probabilidades