miniaturadeimagen|derecha|250px|Gráfica de la función Omega de Wright en el eje real.
En matemáticas, la función Omega de Wright, también llamada función de Wright, es una función que está definida por la función W de Lambert:
Donde es la parte imagniaria de z, es la función techo de z y es un "número desenrollado" de z. Anteriormente estaba definida como , R.M. Corless, y D.J. Jeffrey, "The unwinding number", 'Sigsam Bulletin', vol 30, no. 2, junio 1996, 28-35 pero posteriormente se cambió a la versión actual porque evita tener que usar de manera reiterada el signo menos (-) en las fórmulas relacionadas. R.M. Corless, y D.J. Jeffrey, "The Wright ω function" . , 'AISC (Artificial Intelligence, Automated Reasoning, and Symbolic Computation)', vol. 2385, 2002, 76-89 Propiedades
Esta función satisface la relación .
Donde ln(z) indica al logaritmo principal (arg(z) es el argumento principal).
es epiyectiva en {} . "/" se refiere a la diferencia de conjuntos.
es inyectiva si , ya que .
es continua .
Sea . Entonces .
Derivación e integración
La función Omega de Wright satisface la ecuación diferencial:
Así:
Donde la función sea analítica.
La integral de las funciones de la forma , viene dado por:
Función inversa
Una consecuencia de las restricciones sobre la inyectividad y epiyectividad de , es que la relación inversa es función inversa para todos los valores de u menos en 0 y -1. Por lo tanto la función inversa se define como:
Nótese que para u = -1, toma dos valores, (por el hecho de que se podría evaluar de cualquiera de las dos formas de la definición). No obstante, al igual que con otras funciones multivaluadas, se puede adoptar un convenio para denotar un valor principal. Así para términos prácticos, solo tomaría un valor -aun no decidido-.
Valores particulares
Aplicaciones
La ecuación x + ln(x) = z, tiene por solución:
Para valores , la ecuación no tiene solución. Cabe destacar que de los dos valores z que satisfacen , solo cumple , lo cual motiva a que -como valor principal- represente a por sobre .
Por otra parte, las dos soluciones complejas -no reales- (conjugadas entre sí) de la ecuación x = ln(x) se pueden representar mediante esta función:
A continuación se mostrará un ejemplo de cómo resolver ecuaciones usando esta función.
Ejemplos
Ejemplo 1
Aplicando
Lo anterior por la primera propiedad. Ahora como 2 es un número positivo y tanto x como ln(x) son inyectivas, la (única) solución buscada es un número real. Sabiendo esto, se puede deducir que k = 0 puesto que . Así solo k = 0 cumple lo pedido.
Finalmente la solución es:
Función Omega de Wright en los números reales
En los números reales se puede observar mediante la definición, que Im(z) = 0. Por ello, K(z) = 0. Así la función se define como:
Con esto la función está definida para todo , pero su recorrido es .
Esta función es biyectiva en , por lo tanto tiene función inversa, la cual es:
La cual se deduce por la definición de la función inversa.
Gráficos
Véase también
Función W de Lambert Función exponencial Logaritmo natural Logaritmo complejo
Referencias
Enlaces externos
"Algorithm 917: Complex Double-Precision Evaluation of the Wright ω Function. P.W. Lawrence, R.M. Corless y D.J. Jeffrey.
Función Omega de Wright Wright, Omega de