En teoría de probabilidad y Estadística, la distribución gamma es una distribución con dos parámetros que pertenece a las distribuciones de probabilidad continuas. La distribución exponencial, distribución de Erlang y la distribución χ² son casos particulares de la distribución gamma. Hay dos diferentes parametrizaciones que suelen usarse
Con parámetro de forma y parámetro de escala . Con parámetro de forma y parámetro inverso de escala .
Definición
Notación Si una variable aleatoria continua tiene distribución gamma con parámetros y entonces escribiremos .
Función de Densidad Si entonces su función de densidad es
para donde
es la función gamma y satisface
Para cualquier se cumple que Si entonces
Si entonces
Función de Distribución Acumulada La función de distribución acumulada de una variable aleatoria está dada por
Si es una variable aleatoria tal que donde (es decir, tiene una distribución de Erlang) entonces su función de distribución acumulada está dada por
Propiedades Si es una variable aleatoria tal que entonces satisface algunas propiedades.
Media La media de la variable aleatoria es:
Varianza La varianza de la variable aleatoria es
Momentos El -ésimo momento de la variable aleatoria es
para .
Función generadora de momentos La función generadora de momentos está dada por
para .
Suma de Gammas Si para son variables aleatorias independientes entonces
Escalar Si entonces para cualquier
Media Logarítmica Puede demostrarse que
donde es la función digamma.
Cálculo de Probabilidades en R Se puede utilizar R (lenguaje de programación) para hallar los valores de la función de densidad y la función de distribución de una variable aleatoria continua .
Función de densidad Para , la función de densidad de la distribución Gamma está dada por
entonces para evaluar la función de densidad utilizamos el siguiente código# d=density function dgamma(x,α,λ)
Función de Distribución La función de distribución acumulada de la distribución Gamma está dada por
para , se puede utilizar el siguiente código para evaluar al función de distribución acumulada # p=probability distribution function pgamma(x,α,λ)
Distribuciones Relacionadas
Si son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas tales que entonces , a esta distribución se le conoce como distribución de Erlang y es un caso particular de la distribución gama cuando el parámetro .
Si entonces . Si con entonces .
Véase también Distribución Exponencial Distribución Beta Distribución de Erlang Distribución χ²
Enlaces externos
Calcular la probabilidad de una distribución Gamma con R (lenguaje de programación)
Categoría:Distribuciones continuas Categoría:Temas factoriales y binomiales