En matemáticas, concretamente en álgebra abstracta y teoría de módulos, un módulo semisimple o módulo completamente reducible es un tipo de módulo que se expresa como suma directa de submódulos simples. Los anillos que son módulos semisimples sobre sí mismos se llaman anillos semisimples, y su estructura queda determinada por el Teorema de Artin-Wedderburn, que los caracteriza como isomorfos a un producto directo de anillos de matrices sobre anillos de división.
Definición Un módulo sobre un anillo (no necesariamente conmutativo) se dice semisimple (o completamente reducible) cuando es una suma directa de submódulos simples.
Caracterización Para un módulo cualquiera , equivalen: es semisimple, suma directa de módulos simples. es la suma directa de sus submódulos simples. Cada submódulo de es un sumando directo; es decir, para cada submódulo de , existe un complemento tal que .
Propiedades Si es semisimple y es un submódulo, entonces y son también semisimples. Si cada es un módulo semisimple, también lo es . Un módulo es finitamente generado y semisimple si y sólo si es artiniano y su radical es cero.
Referencias
R.S. Pierce. Associative Algebras. Graduate Texts in Mathematics vol 88.
Categoría:Teoría de anillos Categoría:Teoría de los módulos