En física, especialmente en el álgebra multilineal y en el análisis tensorial, la covarianza y la contravarianza describen cómo la caracterización cuantitativa de ciertas entidades geométricas o físicas se modifica cuando se produce un cambio de base. Brevemente, un vector contravariante es una lista de números que se transforman de manera opuesta a un cambio de base, y un vector covariante es una lista de números que se transforman de acuerdo con un cambio de base. Los vectores contravariantes a menudo se denominan simplemente vectores y los vectores covariantes se denominan covectores o vectores duales. Los términos covariante y contravariante fueron introducidos por James Joseph Sylvester en 1851.

Los sistemas de coordenadas curvilíneos, como las coordenadas cilíndricas o las coordenadas esféricas, se utilizan a menudo en problemas físicos y geométricos. Asociada con cualquier sistema de coordenadas existe una elección natural de la base de coordenadas para los vectores basados en cada punto del espacio, y la covarianza y la contravarianza son particularmente importantes para comprender cómo cambia la descripción de las coordenadas de un vector al pasar de un sistema de coordenadas a otro. Los tensores son objetos propios del álgebra multilineal que pueden tener aspectos tanto de covarianza como de contravarianza.

Introducción En física, un vector surge habitualmente como el resultado de una medición o una serie de mediciones y se representa como una lista (o tupla) de números como

Los números de la lista dependen de la elección del sistema de coordenadas. Por ejemplo, si el vector representa la posición con respecto a un observador (posición), entonces el sistema de coordenadas se puede obtener a partir de un sistema de "varillas rígidas", o ejes de referencia, en los que se miden las componentes v1, v2 y v3. Para que un vector represente un objeto geométrico, debe ser posible describir cómo se ve en cualquier otro sistema de coordenadas. Es decir, las componentes de los vectores se transformarán de cierta manera al pasar de un sistema de coordenadas a otro.

Un caso ilustrativo sencillo es el de un vector euclideo. Para un vector, una vez que se ha definido un conjunto de vectores de la base, las componentes de ese vector siempre variarán de forma opuesta a la de los vectores de la base. Por lo tanto, ese vector se define como un tensor contravariante. Tómese ahora como ejemplo un vector de posición estándar. Al cambiar la escala de los ejes de referencia de metros a centímetros (es decir, al dividir la escala de los ejes de referencia por 100, de modo que los vectores de la base ahora tengan metros de largo), las componentes de la posición del vector medido quedan multiplicadas por 100. Las componentes de un vector cambian de escala inversamente a los cambios de escala en los ejes de referencia y, en consecuencia, un vector de posición se denomina tensor contravariante.

Un vector, que es un ejemplo de tensor contravariante, tiene componentes que se transforman inversamente a la transformación de los ejes de referencia (con transformaciones que incluyen por ejemplo rotaciones y dilataciones). El vector en sí no cambia bajo estas operaciones, paro las componentes del vector cambian de una manera que cancelan el cambio en los ejes espaciales. En otras palabras, si los ejes de referencia giraran en una dirección, las componentes que representan el vector rotarían exactamente en la dirección opuesta. De manera similar, si los ejes de referencia se estiraran en una dirección, las componentes del vector se reducirían de una manera exactamente compensada. Matemáticamente, si el sistema de coordenadas sufre una transformación descrita por una matriz invertible M de orden , de modo que los vectores de la base se transforman según , entonces las componentes de un vector v en la base original () deben transformarse de manera similar a través de . Las componentes de un vector suelen representarse ordenadas en una columna.

Por el contrario, un covector tiene componentes que se transforman como los ejes de referencia. Forman parte del espacio vectorial dual, y representan aplicaciones lineales entre vectores y escalares. El operador del producto escalar que involucra vectores es un buen ejemplo de covector. Para ilustrarlo, supóngase que se tiene un covector definido como , donde es un vector. Las componentes de este covector en alguna base arbitraria son , siendo los vectores de la base en el espacio vectorial correspondiente (esto se puede deducir observando que se quiere obtener la respuesta correcta para la operación del producto escalar al multiplicar por un vector arbitrario , con componentes ). La covarianza de estos componentes del covector se ve fácilmente al observar que si se aplicara una transformación descrita por una matriz invertible M de orden a los vectores de la base en el espacio vectorial correspondiente, , entonces las componentes del covector se transforman con la misma matriz , es decir, . Las componentes de un covector suelen representarse dispuestas en una fila.

Un tercer concepto relacionado con la covarianza y la contravarianza es la invariancia. Un escalar (también llamado tensor de tipo 0 o de rango 0) es un objeto que no varía con el cambio de base. Un ejemplo de un observable físico que es escalar es la masa de una partícula. El valor escalar único de la masa es independiente de los cambios en los vectores de la base y, en consecuencia, se denomina invariante. La magnitud de un vector (como su longitud) es otro ejemplo de invariante, porque permanece fija incluso si las componentes del vector geométrico varían (por ejemplo, para un vector de posición de metros de longitud, si todos los vectores de la base de coordenadas cartesianas se cambian de metro de longitud a metros de longitud, la longitud del vector de posición permanece sin cambios en metros, aunque todas las componentes del vector aumentan por un factor de ). El producto escalar de un vector y de un covector es invariante, porque uno tiene componentes que varían con el cambio de base y el otro tiene componentes que varían de manera opuesta, y los dos efectos se cancelan. Se dice así que los covectores son duales con respecto a los vectores.

Así, de forma resumida: Un vector o vector tangente, tiene componentes que contra-varían con respecto a un cambio de base, para compensarlo. Es decir, la matriz que transforma las componentes del vector debe ser la inversa de la matriz que transforma los vectores de la base. Se dice que las componentes de los vectores (a diferencia de las de los covectores) son contravariantes. Según la notación de Einstein (suma implícita sobre índice repetido), las componentes contravariantes se indican con superíndices (índices superiores), como en

Un covector o vector cotangente tiene componentes que covarían con un cambio de base en el espacio vectorial correspondiente (inicial). Es decir, las componentes deben transformarse mediante la misma matriz que la matriz de cambio de base en el espacio vectorial correspondiente (inicial). Se dice que las componentes de los covectores (a diferencia de las de los vectores) son covariantes. Según la notación de Einstein, las componentes covariantes se indican con subíndices (índices inferiores), como en

El producto escalar de un vector y de un covector es el escalar , que es invariante. Es el emparejamiento dual de vectores y covectores.

Definición

La formulación general de covarianza y contravarianza se refiere a cómo las componentes de un vector de coordenadas se transforman bajo un cambio de base (transformación pasiva). Por lo tanto, sea V un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo de escalares S, y sea cada una de y una base de V.Una base f puede verse aquí de manera conveniente como una aplicación lineal desde Rn sobre V. Considerando f como un vector fila cuyas entradas son los elementos de la base, el isomorfismo lineal asociado es entonces Además, el cambio de base de f a f′ viene dado por

para alguna matriz A invertible de orden n×n, con elementos . Aquí, cada vector Yj de la base f' es una combinación lineal de los vectores Xi de la base f, de modo que

Transformación contravariante

Un vector en V se expresa como una única combinación lineal de los elementos de la base f, como

donde vi[f] son elementos del cuerpo S, conocidos como las componentes de v en la base f. Denótese el vector columna de las componentes de v por v[f]:

de modo que () pueda reescribirse como un producto matricial

El vector v también se puede expresar en términos de la base f', de modo que

Sin embargo, dado que el propio vector v es invariante respecto a la elección de la base,

La invariancia de v combinada con la relación () entre f y f′ implica que

dando la regla de transformación

En términos de componentes,

donde los coeficientes son los elementos de la matriz inversa de A.

Debido a que las componentes del vector v se transforman con la inversa de la matriz A, se dice que estas componentes se transforman contravariantemente con respecto a un cambio de base.

La forma en que A relaciona los dos pares se representa en el siguiente diagrama informal mediante una flecha. La inversión de la flecha indica un cambio contravariante:

Transformación covariante

Un funcional lineal α en V se expresa de una única manera en términos de sus componentes (elementos en S) en la base f como

Estas componentes son la acción de α sobre los vectores Xi de la base f.

Bajo el cambio de base de f a f′ (a través de ), las componentes se transforman de modo que

Se denota ahora el vector fila de las componentes de α por α[f]:

de modo que () pueda reescribirse como el producto matricial

Debido a que los componentes del funcional lineal α se transforman con la matriz "A", se dice que estos componentes se "transforman covariantemente" bajo un cambio de base.

La forma en que A relaciona los dos pares se representa en el siguiente diagrama informal mediante una flecha. Se indica una relación covariante, ya que las flechas están orientadas en la misma dirección:

Si en su lugar se hubiera utilizado una representación vectorial en columna, la ley de transformación sería la matriz transpuesta

Coordenadas La elección de la base f en el espacio vectorial V define de forma única un conjunto de funciones de coordenadas en V, mediante

Las coordenadas en V son por lo tanto contravariantes en el sentido de que

Por el contrario, un sistema de n cantidades vi que se transforman como las coordenadas xi en V define un vector contravariante (o simplemente vector). Un sistema de n cantidades que se transforman en sentido opuesto a las coordenadas es entonces un vector covariante (o covector).

Esta formulación de contravarianza y covarianza suele ser más natural en las aplicaciones en las que hay un espacio de coordenadas (una variedad) en la que los vectores están definidos como vectores tangentes o como vectores cotangentes. Dado un sistema de coordenadas local xi en la variedad, los ejes de referencia para el sistema de coordenadas son los campos vectoriales

Esto da lugar al marco de referencia en cada punto del parche de coordenadas (aplicación lineal uno a uno de un subespacio en un espacio de dimensión superior).

Si yi es un sistema de coordenadas diferente y

entonces el sistema de referencia f' está relacionado con el sistema de referencia f por la inversa de la matriz jacobiana del cambio de coordenadas:

O, expresado mediante índices,

Un vector tangente es, por definición, un vector que es una combinación lineal de las coordenadas parciales . Por lo tanto, un vector tangente está definido por

Tal vector es contravariante con respecto al cambio de sistema de referencia. Bajo cambios en el sistema de coordenadas, se tiene que

Por lo tanto, las componentes de un vector tangente se transforman mediante