La función suma de cuadrados es una función aritmética que dado un número entero positivo , proporciona el número de representaciones de este como suma de cuadrados, donde las representaciones que únicamente se diferencian en el orden de sumandos o los signos de las raíces cuadradas se cuentan como diferentes, y se denota por .

Definición

La función se define como

donde |.| denota la cardinalidad del conjunto. En otras palabras, es el número de veces que puede escribirse como suma de cuadrados.

Casos particulares

El número de veces que puede escribirse un número natural como suma de dos cuadrados está dado por . Puede ser proporcionado explícitamente como

donde es el número de divisores de que son congruentes con 1 módulo 4 y es el número de divisores de que son congruentes con 3 módulo 4. Usando sumas, la expresión se puede escribir como:

El número de veces que se puede representar como la suma de cuatro cuadrados fue dado por Carl Gustav Jakob Jacobi y es ocho veces la suma de todos sus divisores que no son divisibles por 4, i.e.

Jacobi también encontró una fórmula explícita para el caso :

La función generadora que proporciona los coeficientes de la forma general está basada en términos de la función theta de Jacobi:

donde

Véase también Suma de cuadrados Teorema de los cuatro cuadrados de Jacobi

Referencias

Enlaces externos

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