En el campo matemático de la teoría de Lie, un diagrama de Dynkin, llamado así por el matemático ruso Eugene Dynkin, es un tipo de grafo con algunos enlaces dobles o triples (representados como líneas dobles o triples). Los enlaces múltiples son, dentro de ciertas restricciones, dirigidos.
El principal interés de los diagramas de Dynkin es como un medio para clasificar álgebras de Lie semisimples sobre cuerpos algebraicamente cerrados. Esto da lugar al grupo de Weyl, es decir, a muchos (aunque no todos) grupos de reflexión finitos. Los diagramas de Dynkin también pueden surgir en otros contextos.
El término diagrama de Dynkin puede ser ambiguo. En algunos casos, se considera que son grafos dirigidos, en cuyo caso corresponden a sistemas de raíces y álgebras de Lie semisimples, mientras que en otros casos se supone que no están dirigidos, en cuyo caso corresponden a grupos de Weyl; los diagramas dirigidos y producen el mismo diagrama no dirigido, correspondientemente denominado En este artículo, "diagrama de Dynkin" significa por defecto "diagrama de Dynkin dirigido", y los "diagramas de Dynkin no dirigidos" se denominarán explícitamente de esta manera.
Clasificación de las álgebras de Lie semisimples
El interés fundamental de los diagramas de Dynkin es que clasifican álgebras de Lie semisimples sobre cuerpos algebraicamente cerrados. Tales álgebras de Lie se clasifican a través de su sistema de raíces, que puede representarse mediante un diagrama de Dynkin, de acuerdo con las restricciones que deben cumplir, como se describe a continuación.
Prescindir de la dirección en los enlaces del grafo corresponde a reemplazar un sistema raíz por el grupo de reflexión finito que genera, el llamado Grupo de Weyl, y por lo tanto, los diagramas de Dynkin no dirigidos clasifican los grupos de Weyl.
Presentan la siguiente correspondencia para las álgebras de Lie asociadas a grupos clásicos sobre los números complejos:
, el álgebra de Lie lineal especial. , el grupo ortogonal de dimensión impar. , el álgebra de Lie simpléctica. , el grupo ortogonal de dimensión par ().
Para los grupos excepcionales, los nombres del álgebra de Lie y del diagrama de Dynkin asociado coinciden.
Clasificaciones relacionadas Los diagramas de Dynkin se pueden interpretar como una clasificación de muchos objetos distintos relacionados entre sí, y la notación "An, Bn,..." se utiliza para referirse a "todas" tales interpretaciones, según el contexto. El carácter ambiguo de esta notación puede generar interpretaciones confusas.
Su caracterización central implica que un álgebra de Lie simple tiene un sistema raíz, al que está asociado un diagrama de Dynkin (orientado); y por ejemplo, los tres pueden denominarse Bn.
El diagrama de Dynkin no orientado es una forma de diagrama de Coxeter, y corresponde al grupo de Weyl, que es el grupo de reflexión finito asociado al sistema raíz. Por lo tanto, Bn puede referirse al diagrama no orientado (un tipo especial de diagrama de Coxeter), al grupo de Weyl (un grupo de reflexión concreto) o al grupo abstracto de Coxeter.
Aunque el grupo de Weyl es abstractamente isomorfo al grupo de Coxeter, un isomorfismo específico depende de una elección ordenada de raíces simples.
Téngase en cuenta también que, si bien la notación del diagrama de Dynkin está estandarizada, el diagrama de Coxeter y la notación de grupo varían, y en algunas ocasiones concuerdan con la notación del diagrama de Dynkin y en otras no.
Por último, los objetos asociados "a veces" se denominan con la misma notación, aunque esto no siempre se puede hacer regularmente. Entre los ejemplos de esta circunstancia, se incluyen: La retícula raíz generada por el sistema raíz, como en el caso de la retícula E8, que se define naturalmente, pero no elemento a elemento. Por ejemplo, A2 y G2 generan ambos una retícula hexagonal. Un politopo asociado: por ejemplo, el politopo de Gosset 421 puede denominarse "politopo E8", ya que sus vértices se derivan del sistema raíz E8 y tiene el grupo E8 de Coxeter como grupo de simetría. Una forma cuadrática asociada o múltiple: por ejemplo, la variedad E8 tiene una forma de intersección dada por la red E8.
Estas últimas notaciones se usan principalmente para objetos asociados con diagramas excepcionales; los objetos asociados a los diagramas regulares (A, B, C, D) tienen nombres tradicionales.
El índice (la letra n) es igual al número de nodos en el diagrama, el número de raíces simples en una base, la dimensión de la red reticular y el tramo del sistema raíz, el número de generadores del grupo de Coxeter, y el rango del álgebra de Lie. Sin embargo, n no equivale a la dimensión del módulo de definición (una representación fundamental) del álgebra de Lie: el índice del diagrama de Dynkin no debe confundirse con el índice del álgebra de Lie. Por ejemplo, corresponde a que actúa naturalmente en el espacio de 9 dimensiones, pero tiene el rango 4 como álgebra de Lie.
Los diagramas simplemente enlazados de Dynkin, aquellos sin enlaces múltiples (A, D, E) clasifican muchos objetos matemáticos adicionales.
Ejemplo: A2 miniatura|El sistema raíz ,
Por ejemplo, el símbolo puede referirse a: El diagrama de Dynkin con 2 nodos conectados, , que también puede interpretarse como un diagrama de Coxeter. El sistema de raíces con 2 raíces simples en un ángulo de (120 grados). El álgebra de Lie de rango 2. El grupo de Weyl de simetrías de las raíces (reflexiones en el hiperplano ortogonal a las raíces), isomorfo al grupo simétrico (de orden 6). El grupo de Coxeter abstracto, presentado por generadores y relaciones,
Construcción a partir de sistemas raíz Considérese un sistema de raíces, que se supone reducido e integral (o "cristalográfico"). En muchas aplicaciones, este sistema raíz surgirá de un álgebra de Lie semisimple. Sea un conjunto de raíces simples positivas. A continuación se construye un diagrama de la manera que se explica a continuación. Section 8.6 Se forma un gráfico con un vértice para cada elemento de , y luego se insertan los enlaces entre cada par de vértices de acuerdo con la regla siguiente. Si las raíces correspondientes a los dos vértices son ortogonales, no hay enlace entre los vértices. Si el ángulo entre las dos raíces es de 120 grados, se coloca un enlace entre los vértices. Si el ángulo es de 135 grados, se colocan dos enlaces, y si el ángulo es de 150 grados, se coloca un enlace triple (estos cuatro casos agotan todos los ángulos posibles entre pares de raíces simples positivas). Propositions 8.6 and 8.13 Finalmente, si existen enlaces entre un par de vértices dado, se marcan con una flecha que apunta desde el vértice correspondiente a la raíz más larga hasta el vértice correspondiente a la más corta (la flecha se omite si las raíces tienen la misma longitud). Al pensar en la flecha como un signo "mayor que", queda claro en qué dirección debe ir la flecha. Los diagramas de Dynkin conducen a una clasificación de sistemas de raíces. Los ángulos y las relaciones de longitud entre las raíces están ligadas entre sí. Proposition 8.6 Por lo tanto, los enlaces de las raíces no ortogonales pueden describirse alternativamente como un enlace para una relación de longitud de 1, un enlace doble para una relación de longitud de y un enlace triple para una relación de longitud de (no se colocan enlaces cuando las raíces son ortogonales, independientemente de la relación de longitud).
En el sistema raíz A2, que se muestra a la derecha, las raíces etiquetadas y forman una base. Dado que estas dos raíces tienen un ángulo de 120 grados (con una relación de longitud de 1), el diagrama de Dynkin consta de dos vértices conectados por un solo borde: .
Restricciones Los diagramas de Dynkin deben satisfacer ciertas restricciones, esencialmente aquellas satisfechas por los diagramas de Coxeter–Dynkin finitos, junto con una restricción cristalográfica adicional.
Conexión con los diagramas de Coxeter Los diagramas de Dynkin están estrechamente relacionados con los diagramas de Coxeter-Dynkin de los Grupos de Coxeter finitos, y su terminología a menudo se combina.En esta sección se hace referencia a la clase general como "diagramas de Coxeter" en lugar de "diagramas de Coxeter-Dynkin" para mayor claridad, ya que existe un gran potencial de confusión, haciendo a su vez el texto más conciso.
Los diagramas de Dynkin difieren de los diagramas de Coxeter de grupos finitos en dos aspectos importantes: Dirigido en parte los diagramas de Dynkin son parcialmente dirigidos: cualquier enlace múltiple (en términos de Coxeter, etiquetado con "4" o superior) tiene una dirección (una flecha que apunta de un nodo al otro); así, los diagramas de Dynkin tienen "más" datos que los diagramas de Coxeter subyacentes (con gráficos no dirigidos). En el nivel de los sistemas raíz, la dirección corresponde a apuntar hacia el vector más corto; los enlaces etiquetados como "3" no tienen dirección porque los vectores correspondientes deben tener la misma longitud. (Precaución: algunos autores invierten esta convención, con la flecha apuntando hacia el vector más largo). Restricción cristalográfica los diagramas de Dynkin deben satisfacer una restricción adicional, a saber, que las únicas etiquetas de enlace permitidas son 2, 3, 4 y 6, una restricción que no comparten los diagramas de Coxeter, por lo que no todos los diagramas de Coxeter de un grupo finito provienen de un diagrama de Dynkin. En el nivel de los sistemas raíz, esto corresponde al teorema de restricción cristalográfica, ya que las raíces forman una retícula. Otra diferencia, solo estilística, es que los diagramas de Dynkin se dibujan convencionalmente con enlaces dobles o triples entre nodos (para p = 4, 6), en lugar de con un enlace etiquetado con su grado de multiplicidad p.
El término "diagrama de Dynkin" a veces se refiere al gráfico "dirigido", y a veces al gráfico "no dirigido". Para mayor precisión, en este artículo "diagrama de Dynkin" significará "dirigido", y el gráfico subyacente no dirigido se denominará "diagrama de Dynkin no dirigido". Entonces los diagramas de Dynkin y los diagramas de Coxeter pueden relacionarse de la siguiente manera: Cristalográfico Grupo puntual Dirigido Diagramas de Dynkin No dirigido Diagramas de Dynkin no dirigidos Diagramas de Coxeter de grupos finitos
Esto significa que los diagramas de Coxeter de grupos finitos corresponden a grupos puntuales generados por reflexiones, mientras que los diagramas Dynkin deben satisfacer una restricción adicional correspondiente al teorema de restricción cristalográfica, y que los diagramas Coxeter no están dirigidos, mientras que los diagramas de Dynkin están (parcialmente) dirigidos.
Los objetos matemáticos correspondientes clasificados por los diagramas son: Cristalográfico Grupo puntual Dirigido Sistemas de raíces No dirigido Grupos de Weyl Grupos de Coxeter finitos El espacio en blanco en la parte superior derecha, correspondiente a gráficos dirigidos con un gráfico subyacente no dirigido a cualquier diagrama de Coxeter (de un grupo finito), se puede definir formalmente, pero se discute poco y no parece admitir una interpretación simple en términos de objetos matemáticos de interés.
Existen aplicaciones naturales hacia abajo, desde diagramas de Dynkin hasta diagramas de Dynkin no dirigidos; respectivamente, desde los sistemas raíz hasta los grupos Weyl asociados, y hacia la derecha, desde los diagramas de Dynkin no dirigidos hasta los diagramas de Coxeter; respectivamente de grupos Weyl a grupos Coxeter finitos.
La aplicación descendente está generada sobre (por definición), pero no elemento a elemento, ya que los diagramas Bn y C n se asignan al mismo diagrama no dirigido, con el diagrama de Coxeter resultante, y por lo tanto el grupo de Weyl a veces es denotado BCn.