En matemáticas, las tres clásicas medidas pitagóricas son la media aritmética (AM), la media geométrica (GM), y la media armónica (HM). Se definen por:
Cada medio tiene las siguientes propiedades:
Preservación de valor: Homogeneidad de primer orden: Invariancia bajo intercambio: para cualquier y . Promedio: .
Estos medios se estudiaron con proporciones en pitagóricos y posteriores generaciones de matemáticos griegos debido a su importancia en la geometría y la música. Los medios armónicos y aritméticas son duales recíprocas de uno al otro para argumentos positivos (). Mientras que la media geométrica es su propio dual recíproco.
Las desigualdades entre las medias Hay un pedido a estos medios (para todad positivos)
con igualdad de derechos si y solo si el son todos iguales
Esta es una generalización de la Desigualdad de las medias aritmética y geométrica y un caso especial de una desigualdad para las Media generalizadas. La prueba se sigue de la desigualdad media aritmético-geométrica, y la dualidad recíproca ( and también son recíprocamente duales entre sí).
El estudio de los medios pitagóricos está estrechamente relacionado con la Mayorización y las funciones Schur-convexas. Los medios armónicos y geométricos son funciones simétricas cóncavas de sus argumentos, y por lo tanto Schur-cóncavo, mientras que la media aritmética es una función lineal de sus argumentos, por lo que son cóncavos y convexos.
Referencias
Categoría:Medias