mini|Cuadrado mágico del Templo de la Sagrada Familia de Barcelona mini|Cuadrado mágico del grabado Melancolía I, obra de Alberto Durero
Un cuadrado mágico es una tabla de grado primario donde se dispone de una serie de números enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los números por columnas, filas y diagonales principales sea la misma. Usualmente los números empleados para rellenar las casillas son consecutivos, de 1 a n², siendo n el número de columnas y filas del cuadrado mágico.
Los cuadrados mágicos actualmente no tienen ninguna aplicación técnica conocida que se beneficie de estas características, por lo que siguen recluidos al divertimento, a la curiosidad y al pensamiento matemático. Aparte de esto, en las ciencias ocultas y más concretamente en la magia tienen un lugar destacado. En algunos tipos de técnicas orientales, como en el caso del Ba Gua y del Feng Shui, los cuadrados mágicos tienen gran importancia, tanto por razones filosóficas y numerológicas como prácticas, por ejemplo, al momento de determinar orientaciones y espacios específicos.
Introducción
Consideremos la sucesión matemática 1, 2, 3, 4... 36 (cuadrado de orden 6), y dispongamos los números ordenadamente en dos series dispuestas en zig-zag:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19
Resulta evidente que cualquier par de números alineados verticalmente suma lo mismo ya que a medida que nos desplazamos por las columnas, en la fila superior se añade una unidad, mientras que en la fila inferior se resta. La suma es en todos los casos la de los números extremos:
1 2 3 4 5 6 12 11 10 9 8 7 13 14 15 16 17 18 24 23 22 21 20 19 25 26 27 28 29 30 36 35 34 33 32 31 Si disponemos el conjunto de números en seis filas (ver tabla a la derecha), fácilmente se puede apreciar que las sumas en las distintas columnas han de ser necesariamente iguales, ya que los números se encuentran agrupados por pares tal y como estaban en el primer caso (compárese los pares de filas 1.ª-6ª, 2ª-5ª y 3ª-4ª con la disposición original). Ahora sin embargo, por ser tres los pares de filas (n/2), la suma será:
cantidad que se denomina constante mágica, y que en nuestro caso es n×(n² + 1)/2 = 6×(36 + 1)/2 = 111.
{| width="500" align="center" border="1" |----- align="center" | Orden n || 3 || 4 || 5 || 6 | 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13 |----- align="center" | 'M2 (n) || 15 || 34 || 65 || 111 || 175 || 260 || 369 || 505 | 671 || 870 || 1105
Salta a la vista que el cuadro anterior no es un cuadrado mágico, ya que al disponerse los números de forma consecutiva, las sumas de las cifras de cada fila son cada vez mayores. Sin embargo hemos encontrado seis series de números comprendidos entre 1 y 36, de forma tal que, sin repetirse ninguno, las sumas de las series son la constante mágica. Si en vez de la disposición anterior colocamos los números consecutivamente, obtenemos una disposición en la que los números de la diagonal principal se pueden escribir de la forma (a-1)×n + a.
Calculando la suma, sabiendo que las filas a van de 1 a n:
De nuevo la constante mágica. Más aún, cualquier serie de seis valores en los que no haya dos de la misma fila o columna sumará la constante mágica. Escribiendo el término i, j de la matriz como (i-1)×n + j, y tomando 6 términos cualesquiera con la condición de que ni i, ni j se repitan y varíen de 1 hasta n, la ecuación resultante será exactamente la misma que en el caso anterior y la suma, por tanto, la constante mágica.
Como se puede demostrar, la cantidad de series posibles de n números que cumplan la condición anterior es n!, 720 en cuadrados de orden 6, y ni siquiera son todas las posibles, ya que antes habíamos obtenido seis que no están incluidas entre ellas.
De orden 3 existe un único cuadrado mágico (las distintas variaciones se pueden obtener por rotación o reflexión), en 1693 Bernard Frenicle de Bessy estableció que hay 880 clases de cuadrados mágicos de orden 4. Posteriormente se ha encontrado que existen 275.305.224 cuadrados mágicos de orden 5; el número de cuadrados de mayor orden se desconoce aún pero según estimaciones de Klaus Pinn y C. Wieczerkowski realizadas en 1998 mediante los métodos de Montecarlo y de mecánica estadística existen (1,7745 ± 0,0016) × 1019 cuadrados de orden 6 y (3,7982 ± 0,0004) × 1034 cuadrados de orden 7.
Por lo que respecta a órdenes inferiores, es evidente que de orden uno existe un único cuadrado mágico, 1 , mientras que de orden 2 no existe ninguno, lo que se puede demostrar considerando el cuadrado mágico a, b, c, d de la figura; para que tal disposición fuera un cuadrado mágico deberían cumplirse las siguientes ecuaciones (siendo M la constante mágica o cualquier cantidad, si se quiere): a b c da + b = M a + c = M a + d = M b + c = M b + d = M c + d = M escribiendo el sistema de ecuaciones en forma matricial y buscando el orden de la matriz de coeficientes, se obtiene que es tres, mientras que el número de incógnitas es cuatro, de modo que el sistema solo tiene la solución trivial a = b = c = d = M/2 siendo imposible construir un cuadrado mágico en el que las cuatro cifras sean distintas.
Resumiendo: la cantidad de diferentes n×n cuadrados mágicos para n entre 1 y 5, sin contar rotaciones y reflexiones, son: 1, 0, 1, 880, 275305224 .
Para s = 6 se ha estimado que hay aproximadamente 1.7745×1019.
Archivo:Magic square Lo Shu.png The Astronomical Phenomena (Tien Yuan Fa Wei).Compilado por Bao Yunlong en el siglo XIII,edición de la Dinastía Ming, 1457-1463. Biblioteca del Congreso de los EE.UU.
Historia
4 9 2 3 5 7 8 1 6
Muchos de los aspectos históricos de los cuadrados mágicos no se conservan. El cuadro Melancolía I 1514 de Alberto Durero, sigue existiendo, lo mismo que el edificio de la Sagrada Familia.
En la antigua China ya se conocían los cuadrados mágicos desde el III milenio a. C., como dice el Lo Shu. Según la leyenda, un cierto día se produjo el desbordamiento de un río; la gente, temerosa, intentó hacer una ofrenda al dios del río Lo (uno de los desbordados) para calmar su ira. Sin embargo, cada vez que lo hacían, aparecía una tortuga que rondaba la ofrenda sin aceptarla, hasta que un chico se dio cuenta de las peculiares marcas del caparazón de la tortuga, de este modo pudieron incluir en su ofrenda la cantidad pedida (15), quedando el dios satisfecho y volviendo las aguas a su cauce.
Igualmente conocieron combinaciones de esta clase los indios, egipcios, árabes y griegos. A tales cuadrados, las diferentes culturas les han atribuido propiedades astrológicas y adivinatorias portentosas grabándose con frecuencia en talismanes. Así, como recoge Cornelius Agrippa en De oculta philosophia libri tres (1533), el cuadrado de orden 3 (15) estaba consagrado a Saturno, el de 4 (34) a Júpiter, el de 5 (65) a Marte, el del 6 (111) al Sol, el del 7 (175) a Venus, el del 8 (260) a Mercurio y el de 9 (369) a la Luna; idéntica atribución puede encontrarse en la astrología hindú.
La introducción de los cuadrados mágicos en occidente se atribuye a Manuel Moscópulo en torno al , autor de un manuscrito en el que por vez primera se explican algunos métodos para construirlos. Con posterioridad, el estudio de sus propiedades, ya con carácter científico, atrajo la atención de grandes matemáticos que dedicaron al asunto obras diversas a pesar de la manifiesta inutilidad práctica de los cuadrados mágicos. Entre ellos cabe citar a Stifel, Fermat, Pascal, Leibnitz, Frénicle, Bachet, La Hire, Saurin, Euler.
233px|miniaturadeimagen|Melancolía I, grabado de Alberto Durero; el cuadrado mágico aparece en la esquina superior derecha.
El cuadrado mágico de Alberto Durero
16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1
Melancolía I está considerado el primero de las artes europeas. En el cuadrado de orden cuatro se obtiene la constante mágica (34) en filas, columnas, diagonales principales, y en las cuatro submatrices de orden 2 en las que puede dividirse el cuadrado, sumando los números de las esquinas, los cuatro números centrales, los dos números centrales de las filas (o columnas) primera y última, etc. y siendo las dos cifras centrales de la última fila 1514 el año de ejecución de la obra.
Algunas disposiciones particulares en el cuadrado mágico de Durero que suman la constante mágica.
16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1
300px|miniaturadeimagen|Fachada de la Sagrada Familia
El cuadrado mágico de la Sagrada Familia La Fachada de la Pasión del Templo Expiatorio de la Sagrada Familia en Barcelona, diseñada por el escultor Josep María Subirachs, muestra un cuadrado mágico de orden 4.
La constante mágica del cuadrado es 33, la edad de Jesucristo en la Pasión. También se ha atribuido la elección de este número como una velada alusión a la supuesta adscripción masónica, que nunca ha sido demostrada, de Antonio Gaudí, ya que 33 son los grados tradicionales de la masonería. Estructuralmente, es muy similar al cuadrado mágico de Melancolía, pero dos de los números del cuadrado (el 12 y el 16) están disminuidos en dos unidades (10 y 14) con lo que aparecen repeticiones. Esto permite rebajar la constante mágica en 1.
Los cuadrados triviales como éste no suelen tener interés matemático y sólo tienen importancia histórica. Lee Sallows ha señalado que, debido a la ignorancia de Subirachs de la teoría del cuadrado mágico, el famoso escultor cometió un error innecesario, y apoya esta afirmación dando varios ejemplos de cuadrados mágicos no triviales de 4×4 que muestran la constante mágica deseada de 33.Letters: The Mathematical Intelligencer; 2003; 25; 4: pp. 6–7.
Cuadrado mágico aritmético Cuadrados mágicos de orden impar (I) Estos cuadrados pueden generarse según el método publicado en 1691 por Simón de la Loubere, llamado a veces método siamés, país en el que desempeñó el cargo de embajador de Luis XIV, método ya conocido por los astrólogos orientales. Comenzando en la casilla central de la primera fila con el primer número, se rellena la diagonal quebrada con los siguientes en sentido NO (o NE). Completada la primera diagonal, se desciende una posición y se rellena la segunda en el mismo sentido que la anterior, repitiéndose el paso anterior con el resto de diagonales hasta completar el cuadrado. Las Ternas pitagóricas y los Cuadrados mágicos se ordenan en forma precisa en los cuadrados mágicos de orden impar.
Archivo:Cuadrado Mágico Impar.png
Obviamente, se podría haber comenzado en cualquiera de las casillas centrales de las filas o columnas perimetrales, siendo en cada caso la dirección de las diagonales hacia fuera del cuadrado y el sentido del desplazamiento una vez finalizada cada diagonal el dado por la posición relativa del centro del cuadrado respecto de la casilla inicial.
Resulta evidente que, comenzando por cualquier otra casilla, las sumas de las filas y columnas será la constante mágica, ya que la posición relativa de las cifras será la misma que en el caso anterior; sin embargo, en la diagonal paralela a la dirección de rellenado no se cumplirá esta condición (sí en la otra). De hecho, la particular elección de la casilla inicial responde a la necesidad de que en la diagonal paralela a la dirección de llenado se coloquen consecutivamente los cinco números centrales de la serie ya que cualesquiera otros cinco números consecutivos no sumarán la constante mágica.
Cuadrados mágicos de orden impar (II) Paso 1: Se escriben los números del 1 al n². Se escribe el 1 en la casilla superior del rombo y se seguirá de forma oblicua como se ve en este ejemplo. El cuadrado mágico será un cuadrado inscrito en el rombo que hemos formado.