En teoría de números, un número de Wolstenholme es un número primo p si cumple la siguiente condición:
Los números de Wolstenholme se nombran en honor a Joseph Wolstenholme (1891-1929), quien demostró el teorema que lleva su nombre, el equivalente a la relación matemática p3 en 1862, siguiendo a Charles Babbage, quien demostró la equivalencia para p2 en 1819.
Hasta la fecha, los únicos números primos de Wolstenholme conocidos son 16843 y 2124679 ; cualquier otro número primo de Wolstenholme debe ser mayor de 109.
Definición
El primo de Wolstenholme se puede definir de varias formas equivalentes.
Definición mediante coeficientes binomiales Un primo de Wolstenholme es un número primo p > 7 que satisface la congruencia
donde la expresión en el lado izquierdo de la ecuación denota un coeficiente binomial. En comparación, el teorema de Wolstenholme establece que para cada primo p > 3 se cumple la siguiente congruencia:
Definición a través de los números de Bernoulli Un primo de Wolstenholme es un primo p que divide el numerador del número de Bernoulli Bp−3. Por lo tanto, los números primos de Wolstenholme forman un subconjunto de los primos regulares.
Definición a través de pares irregulares
Un primo de Wolstenholme es un primo p tal que (p, p–3) es un par irregular.
Definición a través de números armónicos Un primo de Wolstenholme es un primo p tal que
es decir, el numerador del número armónico expresado en términos mínimos es divisible por p3.
Búsqueda y estado actual La búsqueda de números primos de Wolstenholme comenzó en la década de 1960 y continuó durante las décadas siguientes, y los últimos resultados se publicaron en 2007. El primer número primo de Wolstenholme (16843) se encontró en 1964, aunque no se informó explícitamente en ese momento.Selfridge y Pollack publicaron el primer primo de Wolstenholme en (véase ). El descubrimiento de 1964 se confirmó posteriormente de forma independiente en la década de 1970. Este siguió siendo el único ejemplo conocido de un primo de este tipo durante casi 20 años, hasta el anuncio del descubrimiento del segundo primo de Wolstenholme (2124679) en 1993. Hasta 1,2, no se encontraron más primos de Wolstenholme. Más tarde, McIntosh lo amplió a 2 en 1995. y Trevisan & Weber pudieron alcanzar 2,5. El último resultado a partir de 2007 es que solo hay esos dos números primos de Wolstenholme hasta 109.
Número esperado de primos de Wolstenholme Se conjetura que existen infinitos números primos de Wolstenholme, y que el número de primos de Wolstenholme ≤ x es aproximadamente ln ln x, donde ln denota el logaritmo natural. Para cada primo p ≥ 5, el cociente de Wolstenholme se define como
Claramente, p es un primo de Wolstenholme si y solo si Wp ≡ 0 (mod p). Empíricamente se puede suponer que los restos de Wp módulo p están uniformemente distribuidos en el conjunto {0, 1, ..., p–1}. Por este razonamiento, la probabilidad de que el resto tome un valor particular (por ejemplo, 0) es de alrededor de 1/p.
Primeros 50 números de Wolstenholme +Números de Wolstenholmen1125349420555269653697266681810777499977814110196832911239437889122405051091340799043101144093155262115205234915681168229687147491723835739588086118238820721143261198636439771773482120172999757315426412135356230148588922354019312583809231874974097282282412418770055433494186125234859715505611416492623507608254234781649272117490472718584748412810383930672892966877209298739335943455356005972769308745363341445960333910369318409718829321111776031704609323365923897557379742925662406133336783871721654363024732640613433696425568435587455529424061353371344792442603213547466566136337295377285065064664414256613746196589536413702085491232689909384621635886920793718894356564990939462351273876529572345616910899094046252969210499754415427421586309417777978815940496266171866448082542942111152845545771865753910101139693474320559016479517324506134616092603242603442056556375232439732158376092037952260345205718232684500728626748939507868698034620577813589884143264711540636313749803474546906574020856544245733765219195139482748454812186152177993714058548179662160123274915604058017022744466148977281125827189188161503121579929551692678469635660835626209661709
Véase también Número primo de Wieferich Número primo de Wall-Sun-Sun Número primo de Wilson Tabla de congruencias
Referencias
Bibliografía
Lecturas adicionales
Enlaces externos Caldwell, Chris K. Wolstenholme prime de The Prime Glossary McIntosh, R. J. Estado de búsqueda de Wolstenholme en marzo de 2004 correo electrónico a Paul Zimmermann Bruck, R. Teorema de Wolstenholme, números de Stirling y coeficientes binomiales Conrad, K. The p-adic Growth of Harmonic Sums observación interesante que involucra los dos números primos de Wolstenholme
Estado de la búsqueda de primos de Wolstenholme
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