En matemática, el teorema multinomial describe cómo se expande una potencia de una suma de variables, en términos de potencias de las variables de esa suma. Es la generalización del teorema del binomio a multinomios.
Teorema Para cualquier entero positivo m y cualquier entero no negativo n, el teorema indica cómo una suma con m términos se expande cuando se eleva a una potencia arbitraria n:
donde es un coeficiente multinomial. La suma se toma sobre todas las combinaciones de índices enteros no-negativos a , cuya suma sea igual a n:
Es decir, para cada término de la expansión, los exponentes de las variables deben sumar n. Además, al igual que con el teorema del binomio, las cantidades de la forma , se toman como iguales a 1 (incluso cuando es igual a 0).
En el caso en que se tienen variables, esta afirmación se reduce a la del Teorema del binomio:
Ejemplos Consideremos el caso de variables y exponente . Es decir, queremos desarrollar la siguiente potencia de una suma de tres variables: . El teorema del multinomio afirma que el desarrollo es de la forma:
, donde se define cada coeficiente multinomial como: .
Es decir que se tiene un sumando por cada terna de exponentes enteros no negativos , cuya suma sea cinco: . Por ejemplo, los valores , corresponden al sumando . El teorema del multinomio afirma que el coeficiente que multiplica a dicho sumando es:
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