Una ecuación diferencial puede ser homogénea en dos aspectos: cuando los coeficientes de los términos diferenciales en el caso del primer orden son funciones homogéneas de las variables; o para el caso lineal de cualquier orden cuando no existen los términos constantes.
Tipo homogénea ecuaciones diferenciales de primer orden
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma:
es del tipo homogénea si las funciones y son funciones homogéneas de mismo grado . Esto es, multiplicando cada variable por un parámetro , se halla
y
Así,
Método de resolución En el cociente
haciendo para simplificar esta ecuación para una función de la variable simple :
Se introduce el cambio de variables ; diferenciando usando la regla del producto:
así transformando la ecuación diferencial original en la forma separable
esta forma puede ahora integrarse directamente (ver ecuación diferencial ordinaria).
Caso especial
Una ecuación diferencial de primer orden de la forma (a, b, c, e, f, g son coeficientes constantes)
donde af ≠ be puede transformarse en un tipo homogéneo mediante una transformación lineal de ambas variables ( y son constantes):  Ahora determinar dichas constantes de forma que los términos independientes sean nulos.
Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas
Una ecuación diferencial lineal puede representarse con un operador lineal actuando sobre y(x) donde x es usualmente la variable independiente e y es la variable dependiente. Entonces, la forma general de una ecuación diferencial lineal homogénea es
donde L es un operador diferencial, una suma de las derivadas (definiendo como "derivada 0" a la función original, no derivada), cada una multiplicada por otra función de x:
donde pueden ser constantes, pero no todas las pueden ser nulas.
Por ejemplo, la siguiente ecuación diferencial es homogénea:
sin embargo las siguientes dos son inhomogéneas:
La existencia de un término constante es una condición suficiente para que una ecuación sea inhomogénea, como el ejemplo anterior.
Ecuaciones diferenciales homogéneas con coeficientes constantes de orden mayor o igual a dos Son de especial relevancia este otro tipo de ecuaciones, en cuya versión más simplificada son de la forma :, donde los coeficientes son constantes con .
La solución de este tipo de ecuación es la combinación lineal de exponenciales cuyo argumento es el producto de la variable independiente con la que tiene dependencia la función, y la constante real, imaginaria o compleja que soluciona el polinomio característico de la ecuación, esto es:
De forma explícita aplicado a una ecuación de segundo orden:
las soluciones serán , de modo que se anule para todo el término que acompaña la exponencial cumpliéndose la igualdad. De este modo, la solución viene dada por . Las constantes y quedan definidas en caso de darse tantas condiciones iniciales o de contorno como el grado de la ecuación, en este caso dos. Por ejemplo, dado que y las constantes se obtendrían resolviendo el sistema de ecuaciones:
Véase también Método de separación de variables Teorema de Picard-Lindelöf
Referencias
Bibliografía
. .
Enlaces externos
Ecuaciones diferenciales homogéneas en MathWorld. (en inglés)
Categoría:Ecuaciones diferenciales