En física matemática, las matrices gamma, , también conocidas como matrices de Dirac, son un conjunto de matrices convencionales junto con unas relaciones de anticonmutación que aseguran que generen una representación matricial del álgebra de Clifford . También es posible definir matrices gamma en más dimensiones. Interpretadas como las matrices de la acción de un conjunto de vectores de una base ortogonal para vectores contravariantes en el espacio de Minkowski, los vectores columna sobre los que actúa la matriz se transforman en un espacio de espinores, sobre los que actúa el álgebra de Clifford del espaciotiempo. Esto a su vez hace posible representar rotaciones espaciales y transformaciones de Lorentz infinitesimales. El empleo de espinores en general facilita los cálculos en el espaciotiempo, y en particular es fundamental en la ecuación de Dirac para partículas relativistas de espín ½.
En la representación de Dirac, las cuatro matrices gamma contravariantes son
es una matriz tipo tiempo y el resto son matrices tipo espacio. Las matrices de tipo espacio pueden ser escritas en una única expresión en función de las matrices de Pauli:
Se pueden definir conjuntos análogos de matrices para cualquier dimensión y signatura de la métrica. Por ejemplo, las matrices de Pauli forman un conjunto de matrices "gamma" en dimensión 3 con signatura métrica euclidiana (3,0). En cinco dimensiones espaciotemporales, las cuatro matrices gamma de arriba junto con la quinta matriz gamma, presentada más abajo, generan el álgebra de Clifford.
Estructura matemática La propiedad que define que las matrices gamma matrices generan un álgebra de Clifford es la relación de anticonmutación
donde es el anticonmutador, es la métrica de Minkowski con signatura (+ − − −) y es la matriz identidad 4 × 4.
Esta propiedad es más fundamental que los valores numéricos utilizados en una representación concreta de las matrices gamma. La versión covariante gamma las matrices están definidas por
empleando la notación de Einstein.
Nota que con la signatura métrica opuesta, (− + + +) o bien hay que cambiar la ecuación:
o bien multiplicar todas las matrices gamma por , lo que naturalmente modifica las propiedades de hermiticidad. Con la convención de signatura alternativa las matrices gamma covariantes son entonces .
Estructura física El álgebra de Clifford sobre el espacio-tiempo puede ser considerado como el conjunto de operadores lineales reales de a , o más generalmente, al complexificar a , como el conjunto de operadores lineales de cualquier espacio vector complejo dimensional 4 a sí mismo. Dicho de un modo más simple, dada una base para V, es el conjunto de todas las matrices complejas 4 × 4, pero dotado con una estructura de álgebra de Clifford. Se supone que el espacio-tiempo está dotado con una métrica de Minkowski y un espacio de biespinores en cada punto del espacio-tiempo con la representación biespinorial del grupo de Lorentz. Los campos biespinoriales de las ecuaciones de Dirac, evaluados en cualquier punto en espacio-tiempo, son elementos de . El álgebra de Clifford asimismo actúa en (por multiplicación matricial con vectores de columna en para todo ). Como se verá, esta será la función primaria de los elementos de en esta sección.
Para cada transformación lineal de , hay una transformación de dada por para en . Si pertenece a una representación del grupo de Lorentz, la acción inducida ↦ también pertenecerá a una representación del grupo de Lorentz.
Si es la representación biespinorial que actúa en de una transformación de Lorentz arbitraria en la representación estándar (cuadrivector) que actúa en , entonces hay un operador correspondiente en = dado por
demostrando que puede ser vista como la base de un espacio de representación de la representación de cuadrivectores del grupo de Lorentz que se encuentra dentro del álgebra de Clifford. Esto significa que las cantidades de la forma
deberían de ser tratadas como cuadrivectores en las manipulaciones. También significa que los índices de γ se pueden subir y bajar utilizando la métrica como con cualquier cuadrivector. La notación presentada se llama notación slash de Feynman. La operación slash lleva los vectores unitario de , o de cualquier espacio vectorial de dimensión 4, a la base de vectores . La regla de transformación para cantidades con slash es sencillamente
Hay que notar que esto es diferente de la regla de transformación para los , que son ahora tratados como una base vectorial (fija). La designación de la tupla () = (, , , ) como cuadrivector que se hace a veces en la literatura puede llevar a errores. Eso correspondería a una transformación activa de los componentes de una cantidad con slash en términos de la base , y la forma anterior a una transformación pasiva de la propia base .
Los elementos forman una representación del álgebra de Lie del grupo de Lorentz. Es una representación con espín. Cuando se hacen exponenciales de estas matrices y de sus combinaciones lineales, se obtienen representaciones biespinoriales del grupo de Lorentz, por ejemplo, el usado anteriormente. El espacio de 6 dimensiones generado por es el espacio de representación de una representación tensorial del grupo de Lorentz.
Expresión de la ecuación de Dirac En unidades naturales, la ecuación de Dirac puede ser escrita como
donde es un espinor de Dirac.
Cambiando a la notación de Feynman, la ecuación de Dirac es
La quinta matriz gamma, γ5 Es útil definir el producto de cuatro matrices gamma: (En la base de Dirac). A pesar de que utiliza la letra gamma, no es una de las matrices gamma de . El número 5 es una reliquia de la antigua notación en la que se llamaba "" a
tiene una definición alternativa:
Demostración Esto se puede ver explotando el hecho que todas las matrices gamma anticonmutan, así que , donde es la delta de Kronecker generalizada de tipo (4,4) en 4 dimensiones. Si denota el Símbolo de Levi-Civita en n dimensiones, podemos utilizar la identidad . Así conseguimos Esta matriz es útil al emplear el concepto de quiralidad. Por ejemplo, se puede proyectar un campo de Dirac sus componentes levógira y dextrógira mediante: . Algunas propiedades: Es hermítica:
Sus autovalores son ±1 porque:
Anticonmuta con las cuatro matrices gamma:
El conjunto por lo tanto, por las últimas dos propiedades y las del resto de matrices gamma, forma la base del álgebra de Clifford en 5 dimensiones del espacio-tiempo para la signatura métrica (1,4).The reason for the notation γ5 is because that set of matrices (ΓA) = (γμ, iγ5) with A = (0, 1, 2, 3, 4) satisfy the five-dimensional Clifford algebra {ΓA, ΓB} = 2ηAB. En la signatura (4,1), se usa el conjunto , donde las son las apropiadas para la signatura (3,1).Weinberg 2002 Section 5.5. Este patrón se repite para cualquier dimensión de espacio-tiempo par y la dimensión impar siguiente para todo .de Wit & Smith 1996, p. 679.
Identidades Las identidades siguientes se siguen de las relaciones fundamentales de anticonmutación, así que son válidas en cualquier base (aunque la última depende de la elección del signo para ).
Identidades varias {| style="margin-bottom: 10px;" border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="" ! style="background:#ffdead;" | Num ! style="background:#ffdead;" | Identidad |- | 1
| 2
| 3
| 4
| 5
Demostraciones de 1 y 2 Para demostrar
se empieza con la relación de anticonmutación
Se puede conseguir que la primera identidad tenga un aspecto similar mediante la métrica : {| style="margin-bottom: 10px;" | | ( simétrica)
| (expandiendo)
| (renombrando los índices en el término de la derecha)
Para demostrar
otra vez utilizaremos la propiedad de anticonmutatividad: {| style="margin-bottom: 10px;"
Demostración de 3 Para demostrar
Utilizar el anticonmutador para desplazar a la derecha {| style="margin-bottom: 10px;"
Utilizando la relación podemos contraer las dos últimas gammas, y conseguir {| style="margin-bottom: 10px;"
Finalmente utilizando la identidad del anticonmutador conseguimos
Demostración de 4 (identidad del anticonmutador) (utilizando identidad 3) (subiendo un índice) (identidad del anticonmutador) (dos términos cancelan) Demostración de 5 Si . entonces y es fácil verificar la identidad. Lo mismo ocurre cuando , o Por otro lado, si los tres índices son diferentes, , y y ambos lados son completamente antisimétricos (el lado de la izquierda debido a la anticonmutatividad de las matrices, y el lado derecho a la antisimetría de . Así basta verificar las identidades para los casos de , , y .
Identidades de la traza Las matrices gamma obedecen las siguientes identidades de traza: {| style="margin-bottom: 10px;" border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="" ! style="background:#ffdead;" | Num ! style="background:#ffdead;" | Identidad |- | 0
| 1 | La traza de cualquier producto de un número impar de es cero |- | 2 | La traza de por un producto de un número impar de también es cero |- | 3
| 4
| 5
| 6
| 7
Para demostrar estas identidades se necesitan tres propiedades de la traza:
Demostración de 0 De la definición de las matrices gamma,
se obtiene
o equivalentemente,
donde es un número y una matriz
{| style="margin-bottom: 10px;" | | (Insertando la identidad y utilizando tr(rA) = r tr(A))
| (de las relaciones de anticonmutación relación, y dado que somos libres de seleccionar )
| (utilizando tr(ABC) = tr(BCA))
| (eliminando la matriz identidad) |} Esto implica Demostración de 1 Para mostrar
empleamos la propiedad anterior
y las propiedades de la matriz siguientes:
Demostramos la propiedad para el cas de tres matrices. El primer paso es añadir dos matrices delante de las s, el segundo paso es llevar una de las al final mediante la propiedad cíclica de la traza, y el tercer paso, devolverla a su posición original empleando la anticonmutatividad: {| style="margin-bottom: 10px;"
Esto solamente se verifica si
La extensión a ( entero) matrices gamma es inmediata. Demostración de 2 Si hay un número impar de matrices gamma seguidas de , el objetivo es mover de la derecha a la izquierda, empleando la propiedad cíclica de la traza. Para hacer este movimiento, tenemos que anticonmutarla con todas las matrices gamma; un número impar de veces, adquiriendo un signo menos. Una traza igual a su negativo debe ser igual a cero. Demostración de 3 Para demostrar
hacemos uso de {| style="margin-bottom: 10px;"
Demostración de 4 {| style="margin-bottom: 10px;"
Para el término de la derecha, movemos hacia la izquierda {| style="margin-bottom: 10px;"
De nuevo en el término de la derecha desplazamos a la izquierda {| style="margin-bottom: 10px;"
La ecuación (3) es el término de la derecha de la ecuación (2), que a su vez es el término de la derecha de (1). También empleamos la tercera identidad para simplificar términos como:
Aplicándolo todo a la ecuación (1) se obtiene
Empleando la propiedad cíclica
Así que (4) queda
o
Demostración de 5 Para demostrar , procedemos según {| style="margin-bottom: 10px;"
|(porque )
|(anticonmutando con )
|(rotando las matrices dentro de la traza)
|(eliminando ) |} Sumando a ambos lados se tiene .
Esta misma estrategia se puede usar para demostrar . Simplemente hay que añadir dos factores de, con distinto de y de . Anticonmutando tres veces se obtienen tres signos menos, y usando la propiedad cíclica se llega a
. Demostración de 6 Para una demostración de la identidad 6 funciona el mismo truco que en la identidad 5 a no ser que sea una permutación de (0123), y aparezcan las cuatro matrices gamma distintas. Las reglas de anticonmutación implican que cambiando dos índices cambia el signo de la traza, con lo que debe ser proporcional a La constante de proporcionalidad es como se puede comprobar con el caso , escribiendo , y recordando que la traza de la identidad es 4. Demostración de 7